阿基米德三角形的性质

阿基米德三角形的性质

切线方程：

1.过抛物线px y 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +=

2.过抛物线px y 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00x x p y y +-=

3.过抛物线py x 22=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +=

4.过抛物线py x 22-=上一点),(00y x M 的切线方程为：)(00y y p x x +-= 性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

证明：设),(11y x A ，),(22y x B ，M 为弦AB 的中点，则过A 的切线方程为)(11x x p y y +=，

过B 的切线方程为)(22x x p y y +=，联立方程，1212px y =，222

2px y =，解得两切线交点)2

,2(2121y y p y y Q + 性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB 过抛物线的定点C ，则另一顶点Q 的轨迹为一条直线

性质3：.抛物线以C 点为中点的弦平行于Q 点的轨迹

性质4：若直线l 与抛物线没有公共点，以l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点

性质5：底边为a 的阿基米德三角形的面积最大值为p

a 83

性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为2p

性质7：在阿基米德三角形中，QFB QFA ∠=∠ 性质8：抛物线上任取一点I （不与B A ,重合），过I 作抛物线切线交QA ，QB 于T S ,，则QST ∆的垂心在准线上 性质9：2QF BF AF =⋅ 性质10：QM 的中点P 在抛物线上，且P 处的切线与AB 平行 性质11：在性质8中，连接BI AI ,，则ABI ∆的面积是QST ∆面积的2倍

1.如图，设抛物线方程为)0(22>=p py x ，M 为 直线p y 2-=上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为B A ,

（Ⅰ）求证：M B A ,,三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当M 点的坐标为)2,2(p -时，410AB =，求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，

点C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

2.设点),(00y x p 在直线)10,(<<±≠=m m y m x 上，过点P 作双曲线122=-y x 的两条切线PB PA ,，切点为B A ,，定点)0,1(m

M ． （1）求证：三点M B A ,,共线．

（2）过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的重心G 所在曲线方程．