高中数学第三章概率3.3随机数的含义与应用3.3.1-3.3.2随机数的含义与应用教学案新人教B必修3

3．3.1 & 3.3.2 几何概型随机数的含义与应用

预习课本P109～114，思考并完成以下问题

(1)什么是几何概型？

(2)几何概型的概率计算公式是什么？

(3)随机数的含义是什么？它的主要作用有哪些？

[新知初探]

1．几何概型

(1)定义：事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．

(2)计算公式：

P(A)＝μA

μΩ

，其中μΩ表示区域Ω的几何度量，μA表示子区域A的几何度量．2．随机数

(1)含义

随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会一样．

(2)产生

①在函数型计算器上，每次按SHIFT Ran #键都会产生一个0～1之间的随机数．

②Scilab中用rand( )函数来产生0～1的均匀随机数．如果要产生a～b之间的随机数，可以使用变换rand( )*(b－a)＋a得到．

[小试身手]

1．用随机模拟方法得到的频率( )

A．大于概率B．小于概率

C．等于概率D．是概率的近似值

答案：D

2．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则

x ∈M ∩N 的概率是( )

A.19

B.18

C.14

D.38

解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18

.

3.如图所示，半径为4的圆中有一个小狗图案，在圆中随机撒一粒豆子，它落在小狗图案内的概率是1

3

，则小狗图案的面积是( )

A.π3

B.4π3

C.8π3

D.16π

3

解析：选D 设小狗图案的面积为S 1，圆的面积S ＝π×42

＝16π，由几何概型的计算

公式得S 1S ＝13，得S 1＝16π3

.故选D.

4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为________． 解析：根据几何概型的概率的计算公式，可得所求概率为1－01－－1＝12.

答案：1

2

与长度有关的几何概型

[典例] (1)． (2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．

[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23

.

答案：23

(2)解：设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．

记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．

∴P (A )＝

T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝1

3

，

即该乘客等车时间超过10 min 的概率是1

3

.

1．解几何概型概率问题的一般步骤

(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．

2．与长度有关的几何概型问题的计算公式

如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：

P (A )＝

构成事件A 的区域长度

试验的全部结果所构成的区域长度

.

[活学活用]

一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．

解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.

(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝1

15

.

(3)法一：P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝3

5.

法二：P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝3

5

.

与面积和体积有关的几何概型

[典例]

B 的坐标为(1,0)，且点

C 与点

D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1，x ≥0，－1

2

x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD

内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )

A.1

6 B.14 C.38

D.12

(2)有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．

[解析] (1)依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝3

2，根据几何概型的概率求解公

式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝3

26＝1

4

，故选B.

(2)先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12

×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13

＝23π.则点P 到点O 的

距离小于1或等于1的概率为：2

3π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝2

3

.

[答案] (1)B (2)2

3

1．与面积有关的几何概型的概率公式

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：

P (A )＝

构成事件A 的区域面积

试验的全部结果所构成的区域面积

.

2．与体积有关的几何概型概率的求法

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为

P (A )＝

构成事件A 的区域体积

试验的全部结果所构成的区域体积

.

[活学活用]

1．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )