实数连续性互相证明

关于实数连续性的基本定理

04级统计系 张祥淳

2005年5月

摘要：这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互

等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。

关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理

柯西收敛定理 等价证明

(一)实数基本定理的出现

历史车轮的转离不开数学的发展。十七世纪，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼茨各自独立发现，推动了科学技术的前进。然而，贝克莱对牛顿理论的攻击，将无穷小量嘲笑为“消失的量的灵魂”，却真正抓住了牛顿理论的缺陷。一方面，微积分在应用中大获成功；一方面其自身却存在着逻辑矛盾。至十九世纪，由十七、十八世纪积累下来的矛盾到了非解决不可的程度。

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界（即上确界）的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了“波尔察诺—魏尔斯特拉斯紧致性定理”。海涅于1872年提出，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。1872年，实数的三大派理论：戴德金 “分划”理论，康托的“基本序列”理论及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了！ 1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理——区间套原理。由此，沿柯西开辟的道路建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作，从而使微积分学这座数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。

以上的定理表述如下：

实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。

确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛,

[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数

r,使得r 包含在所有的区间里,即

∞

=∈1

],[n n n b a r 。

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。

柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：

εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。

这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。

（二）实数基本定理的等价证明

一．用实数基本定理证明其它定理

1．实数基本定理→单调有界定理

证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <

0n x ≤b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分

划。根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。

下证∞

→n lim

n x =r 。事实上，对

n N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。

2

,2

εε

-

≤∈+

r x b r n 便有 ，2

ε

ε+≤-∴r x r ，N n n 有时当

于是，|n x -r|<ε，∴∞

→n lim

n x =r 。

若数列}{n x 单调下降有下界，令

n y =-n x ，则{n y }单调上升有上界，从而有极限，设极限为r ，则

∞

→n lim n x =∞

→n lim

（-

n y ）=-r 。定理证完。

2.实数基本定理→确界定理

证明：设X 是有上界的非空实数集，记B 为X 的全体上界组成的集合。A= R ﹨B ，则A|B 构成实数的一个分划。事实上，不空，不漏显然。而A ，a ∈∀对B ，b ∈由a 不是X 的上界，知有0x ∈X ，使得0x a ，

而由B ，b ∈知0

x ≤b ，故a < b 。

由实数基本定理， A|B 是实数的一个分划，∴A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。 下证r=supX 。首先证明r 是X 的上界。用反证法。如果不然，则有0x ∈X ，使得0x r ，这时有a=

2

0r

x +

a=

2

0r

x +∈A ，且有a r ，这是不可能的。因此r 是X 的上界，而由于b r B ，b ≤∈∀有，∴

r 是X 的最小上界。