第三章 3.3二倍角的三角函数

3.3 二倍角的三角函数(一)

知识点1 二倍角公式 1． sin 2α＝2sin_αcos_α.

2． cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 3． tan 2α＝

2tan α

1－tan 2α

.

知识点2 二倍角公式的变形 1．公式的逆用

2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α

1－tan 2α＝tan 2α.

2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式：

1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α

2，降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2

.

题型一 化简求值

【例1】 求下列各式的值． (1)sin π12cos π12； (2)1－2sin 2750°； (3)2tan150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°.

【训练1】 求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3

cos 50°.

【例2】 (1)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭

⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( )

A.1

5 B ．－15 C ．－75

D.75

(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( ) A.19

25 B.1625 C.1425 D.725

【迁移1】 若(1)中α∈⎝⎛⎭⎫－π

2，－π4，求sin α＋cos α的值．

【迁移2】 在(1)中的条件下求tan α的值．

题型三 三角函数式的化简或证明

【例3】 化简：(1)cos 10°1＋3tan 10°

cos 70°1＋cos 40°；

(2)2cos 2α－1

2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α

.

【训练2】 化简下列各式：

(1)2sin 2α1＋cos 2α×cos 2αcos 2α； (2)1－cos 20°cos 80°1－cos 20°

； (3)11－tan θ－11＋tan θ.

课堂达标

1．sin 4π12－cos 4π

12等于( ) A ．－12 B ．－3

2 C.12

D.32

2．已知sin α－cos α＝4

3，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－2

9 C.29

D.79

3．若tan α＝2，则tan 2α＝________. 4．已知cos ⎝⎛⎭

⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝________.

5．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°

cos 80°1－cos 20°

.

基础过关

1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12 C.12

D ．1

2．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝4

5，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－7

24 C.247

D ．－247

3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭

⎫α＋π4等于( )

A.16

B.13

C.12

D.23

4．2sin 222.5°－1＝________.

5．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.

6．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝

⎛⎭

⎫0，π2，求sin 2α的值．

7．已知角α在第一象限且cos α＝3

5，求1＋2cos 2α－π

4sin α＋π

2

的值． 能力提升

8．已知等腰三角形底角的余弦值为2

3，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459

D ．－259

9．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1

sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭

⎫π12的值为( ) A ．4 3 B.83

3 C ．4

D ．8

10．已知tan θ

2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ

＝______.

11．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋7

4的最大值是______． 12．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π

2)，求α.

13．(选做题)设函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1(ω＞0)，且以2π为最小正周期．

(1)求f (x )的解析式，并求当x ∈⎣⎡⎦

⎤π6，π3时，f (x )的取值范围； (2)若f

⎝⎛⎭⎫x －π6＝65，求cos x 的值．