三角函数的单调性1
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三角函数的单调性一般是解答题的一个小问,
这里必须先对所给题进行化简,化为y=Asin(wx+b)的形式,然后利用
y=sinx的单调区间进行求解
一定要记住y=sinx或y=cosx的单调区间
三角函数求值域.最值和单调性的方法??
设y=Asin(φx+b)+c
题中一般不会给出你说的那个形式,这要你先化简。在R上的最值为A+C。在闭区间内的最值求法,一般是先找出函数的周期,若闭区间包含的范围大于1个周期,则最大值和最小值直接写就是,若闭区间包含的范围小于1个周期,则可根据信息画出草图观察。不懂再追问。
三角函数知识点解题方法总结
一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间(-90o,90o)的公式.
1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);
2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);
3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);
4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).
二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上方(或下方);
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上方(或下方);
3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;
4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.
三、见“知1求5”问题,造Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形还可以视其分母为1,转化为sin2α+cos2α.
六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:
1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;
2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.
七、见“sinα±cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若sinα+cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=t2-1=sin2α;
2.若sinα-cosα=t,(且t2≤2),则2sinαcosα=1-t2=sin2α.
八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=???
九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;
2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;
3.同样,利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:
1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;
2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);
3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2≥c2.
十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化.
1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.
从几个方面探讨三角函数问题的解题方法与技巧
摘要:三角函数是高中部分的一个重难点,其内容抽象,公式繁多,技巧性强,学生不易理解,掌握。探讨一下这类问题的常见错误和一般解法是非常必要的。本文列举了解决这类问题的常见错误和解决技巧,以及三角函数求最值及值域的几种方法。
关键词:三角函数错解值域最值
高中将角的概念进行推广,在直角三角形中来讨论,引入正负零角,引入弧度制,进而讨论三角问题,整个这一章可分为角的概念,角的换算,诱导公式,二倍角及函数图象等几部分,但与三角函数相关的知识却非常广泛,如求值域,求最值,含三角知识的应用题等,这些知
识都比较难以理解,且容易出错,下面我们来逐步探讨一下这类问题的特点及解法。
一,三角函数问题常见错误解析:
由于三角函数的性质和公式较多,变换灵活,一题多解是常有的事,正因为解题途径呈开放性,有时思维误入歧途就不容易察觉,导致误解的原因也因题而异。
忽视定义域
三角恒等变换必须使涉及的各个三角函数有意义,给定的任意角的范围不被改变,对切与割两类函数尤其需要重视定义域的考察,否则易造成错解。
[1]例1:求函数y=sinx[1+tgxtg(x/2)]的递增区间。
解:sinx[1+tgxtg(x/2)]=sinx = =tgx
所以原函数可化为y=tgx,故递减区间为(k - /2, k + /2)
致误分析:忽视了函数式中tgxtg(x/2)有意义的x的取值范围,即x≠k + /2 ,x≠2k + (k z) 由此可知递增区间为:(2k - /2,2k + /2)∪(2k + /2,2k + )∪(2k + ,2k +3/2 )(k z) 2,忽视单调性
已知部分三角函数值,求某一区间上的角,若不注意用三角形的单调性,则容易增解,如下例:
例2:已知cos =1/7, cos( + )=- ,且(0,/2),+ (/2,),求
解:因为0<( + )+(- )< , 所以(0,),又有sin =sin[( + )+(- )]=sin( + )²cos -cos( + )²sin = ²1/7+ ²= 所以= /3 或=2 /3。
致误分析:(0,)时sin 不是单调函数,由sin = 求角还须进一步讨论范围,因为(0,)时cos 是单调函数,所以取余弦函数求角是合理的,因为cos =cos[( + )+(- )]=1/2, 所以= /3。3,忽视特殊值
有些涉及三角函数值域,参变数取值范围的问题,应注意对区间端点,最值点,零点(即图象与x轴交点)等特殊值进行讨论,以免因一点一值酿成错误,如下例:
例3:已知方程sinx+ cosx+a=0在区间(0,2 )上有且只有两个不同的实根,求实数a的取值范围。
解:因为原方程可化为sin(x+ /3)=-a/2, x (0,2 )当sin(x+ /3)= 1时,只有唯一解,所以-a/2 1,即-1<-a/2<1时,得a (-2, 2).
致误分析:对区间端点分析不够,因为sin(0+ /3)=sin(2 + /3)=sin( /3+ /3)= ,所以当-a/2= 时,方程有三个解0,2 ,/3 (0,2 ),故a的取值范围为(-2, - )∪(- , 2)
4, 忽视隐含条件
有些三角函数问题隐含着重要的条件,必须发现和利用,才能正确解答,如下例:
例4:已知sin =(x-3)/(x+5) , cos =(4-2x)/(x+5), 试问x取何值时,所在象限中sin ,cos 都是减函数。
解:由sin ,cos 都是减函数知2k+ /2< <2k + (k z)
所以sin >0, cos <0, 由此得x的不等式组:
0<(x-3)/(x+5)<1 和-1〈(4-2x)/(x+5)〈0 解之得3 致误分析:对隐含条件sin2 +cos2 =1还须应用,即〔(x-3)/(x+5)〕2+〔(4-2x)/(x+5)〕2=1 解之得x=0或x=8 ,应舍去x=0 ,故x=8即为所求 注:为简化运算起见,本题可先解出x=0或8,代入sin ,cos 中检验是否满足题意。 5,忽视图象变换顺序 《代数》上册第143页指出:一般地,函数y=Asin( x+ ) (A>0 , >0) x r