第3讲-命题与条件

主题命题与条件

教学内容

1. 理解逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义；

2. 理解四种命题及其相互关系；

3. 理解充分条件、必要条件及充要条件的意义；

一、命题

1. 我们知道，能够判断真假的语句叫做命题．例如，

（1）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；

（2）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；

（3）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；

（4）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.

问题：命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？

2. 一般地，设“若p则q”为原命题，那么

“若q则p”就叫做原命题的逆命题；

“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；

“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题．

3. 四种命题之间的关系如下：

原命题

,p q 若则

逆命题

,q p 若则

逆否命题

,q p 若非则非

否命题

,p q 若非则非

互为逆命题互为逆命题互为逆否命题

互

为

否命

题互

为

否命

题

练习：写出下列命题的的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假：

（1）若a =0，则ab =0；

（2）若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形；

（3）全等三角形的对应边相等；

（4）四条边相等的四边形是正方形。

4. 通过上面的练习思考：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？

二、条件

21,1,p q p q x x a b a b ==+讨论一：下列“若、则”的命题中，、关系如何？

(1).若则；(2).若都为偶数、则是偶数；

讨论结果：

定义：一般地如果命题若p 、则q 为真命题，即p ⇒q ，那么我们就把p 叫做q 的充分条件，q 叫做p 的必要条件.

注意：1. 命题是“若p 、则q ”形式的，要认清p 、q 分别指什么。

2. 命题必须是真命题

练习：下列“若p 、则q ”的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？

（1）若1x =，则2430x x -+=.

（2）若x 为无理数，则2x 为无理数

22(1)(2)(3)(4)p q x y x y ac bc a b a b ac bc ====>>讨论二：下列“若、则”的命题中，写出命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.

、“若、则”;

、“若、则”;

、“若两直线平行、则内错角相等”;

、“若、则”.

定义：

（1）“若p 、则q ” 为真命题，且“若q 、则p ”为假命题，即：p q ⇒且q p ≠>，我们把p 叫做q 的充分不必要条件。

（2）“若p 、则q ” 为假命题，且“若q 、则p ”为真命题，即：q p ⇒且p q ≠>，我们把p 叫做q 的必要不充分条件。

（3）“若p 、则q ” 为真命题，且“若q 、则p ”为真命题，即：p q ⇒且q p ⇒，我们把p 叫做q 的充分必要条件，简称充要条件。

（4）“若p 、则q ” 为假命题，且“若q 、则p ”为假命题，即：p q ≠>且q p ≠>，我们把p 叫做q 的既不充分也不必要条件。

例1. 判断下列命题的真假：

（1）所有能被6整除的整数都是3的倍数；

（2）关于x 的方程+=0(ax b a b R ∈、）有且只有一个实数根。

试一试：判断下列命题的真假：

（1）质数都是奇数；

（2）钝角三角形的内角至少有一个是钝角；

（3）若>0x ，>0y ，则<0xy 。

（4）若A

B ,A

C ,≠∅≠∅则B C ≠∅。

例2. 已知命题：若>1,>-1x y 且，则+>0x y ，写出它的四种形式并判断真假。

试一试：写出命题“已知a b c d R ∈、、、，若==a b c d ，，则=ac bd ”的其他三种形式。

例3. 已知R x y ∈、，“+=+x y x y ”是“>0xy ”的什么条件？

例4. 证明：<0ac 是关于x 的一元二次方程2

++=0ax bx c 有两个不同的实数根的充分非必要条件。

1. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2. 从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：

（1）“()2

00ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________； （2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．

3. 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．

（1）若0a =,则0ab =；

（2）若b a =，则b a =．

4. 把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．

（1）对顶角相等；

（2）四条边相等的四边形是正方形．

5. 已知a b R ∈、，求证：44221a b b --=成立的充分条件是22

1a b -=。

本节课主要知识点：四种命题的改写，四种命题之间的真假关系，充分条件必要条件的判定

【巩固练习】

1. 从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：

（1）“四边形的对角线互相平分”是“四边形为矩形”的 ；

（2）“A =∅”是“A B B =”的 ；

（3）设

1O ，2O 的半径为1r ，2r ，则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的 ．

2. 指出A B ⊆是A=B 的什么条件，简述理由。