第一讲 数的整除问题
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第一讲数的整除问题
一.基本概念和知识
1.整除——约数和倍数
一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b = c,即整数a 除以整数b(b≠0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b︱a。否则,称为a不能被b整除(或b不能整除a)。
如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a 的约数(或因数)。
2.数的整除性质
性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c 整除。
性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a。
性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a。
性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整
数。
②能被5整除的数的特征:个位是0或5。
③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3
(或9)整除。
④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)
整除。
⑤能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)
整除。
⑥能被11整除的数的特征:这个整数的奇数数位上的数字之
和与偶数数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。
⑦能被7(11或13)整除的数的特征:一个整数的末三位数
与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除。
二.例题
例1:已知45︱1993
x y。
x y,求所有满足条件的六位数1993
解:∵45=5×9,
∴根据整除“性质2”可知
5︱____________
x y,
1993
x y,9︱____________
1993
∴ y可取0或5。
当y=0时,根据9︱____________
x y及数的整除特征③可知x=5;
1993
当y=5时,根据9︱____________
x y及数的整除特征③可知x=9。
1993
∴满足条件的六位数是519930或919935。
例2:李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔,共付人民币9□.2□元,已知□处数字相同,请问每支钢笔多少元?
解:∵9□.2□元=9□2□分
28=4×7
∴根据整除“性质2”可知
4和7均可能整除9□2□。
4︱2□,可知□处只能填0或4或8。
因为7不能整除9020,7不能整除9424,所以□处不能填0和4;
因为7︱9828,所以□处应该填8。
又因为9828分=98.28元
所以98.28÷28=3.51(元)
答:每支钢笔3.51元。
例3:已知整数__________________
a a a a a能被11整除,求所有满足这个条件
12345
的整数。
解:∵11︱__________________
a a a a a,
12345
∴根据能被11整除的数的特征可知:
1+2+3+4+5的和与5a之差应是11的倍数,即:
11︱(15-5a),或11︱(5a-15)。
但是15-5a=5(3-a),5a-15=5(a-3),又(5,11)=1,因此11︱(3-a)或11︱(a-3).
又∵ a是数位上的数字,∴ a只能取0~9,
所以只有a=3才能11︱(3-a)或11︱(a-3)。
即当a=3时,11︱15-5a。
∴符合题意的整数只有1323334353。
例4:把三位数3ab接连重复地写下去,共写1993个3ab,所得
的数33 (3)
(19933)
ab ab ab
ab
个
恰是91的倍数,求ab=?
解:∵91=7×13,且(7,13)=1,
∴7能整除33 (3)
ab ab ab,13能整除33 (3)
ab ab ab。
根据一个数能被7或13整除的特征可知:
原数33 (3)
ab ab ab能被7以及13整除,
当且仅当3 (3)
ab ab(1992组3ab)-3ab能被7以及13整除,也就是3 (3000)
ab ab(1991组)能被7以及13整除。
因为(7,10)=1,(13,10)=1,所以7能整除3 (3000)
ab ab(1991组),13能整除3 (3000)
ab ab(1991组),也就是7能整除3 (3)
ab ab(1991
组),13能整除3 (3)
ab ab(1991组),因此,用一次性质(特征),就去掉了两组3ab;反复使用性质996次,最后转化成:原数能被7以及13整除当且仅当3ab能被7以及13整除。
又∵91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3,∴3ab=364,∴ab=64。
例5:在865后面被上三个数字,组成一个六位数,使它能分别被3、4、5整除,且使这个数值尽可能的小。
分析设补上数字后的六位数是___________
865abc,因为这个六位数能分别被3、4、5整除,所以它应该满足以下三个条件:
第一,数字和(8+6+5+a+b+c)是3的倍数;
第二,末两位数字组成的两位数____bc是4的倍数;
第三,末位数字c是0或5。
因为能被4整除的数的个位数字不可能是5,所以,c只能取0,因而b只能取自0,2,4,6,8中之一。
又因为3︱___________
ab,且(8+6+5)除以3余1,
8650
所以a+b除以3余2。
为满足题意“数值尽可能小”,只需取a=0,b=2.
所以,要求的六位数是865020。
例6:求能被26整除的六位数___________
x y。
1991