向量组的线性组合

一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有 b1 1 0 0 0 b 0 1 0 2 0 b b3 b1 0 b2 0 b3 1 bn 0 0 0 0 1 b n
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b1 1 0 0 b 0 1 2 0 b b3 b1 0 b2 0 b3 1 0 0 0 b n
k1，k2， ，km，使 k11k22 kmm， 则称向量是向量组1，2 ， ，m的一个线性组合， 或称可由向量组1，2 ， ，m线性表示。 例3．零向量是任何一组向量的线性组合。 这是因为o=01 02 0 m 注意：对k1，k2， ，km未加任何限制；特别是未限制 k1，k2， ，km不全为零。 例4．向量组1，2 ， ，m中的任一向量i(1im)都是 此向量组的线性组合。 这是因为i01 1i 0 m 。
a21x1 a22x2 a2mxm b2 x11 x22 xm m an1x1 an2x2 anmxm bn 讨论： 上述线性方程组在什么情况下有解？
11 1 12 2 1m m 1
1 0 En 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
0 0 bn 0 1 0 0 0 1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
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定义1对于向量组1，2， ，m ，如果有一组数
注意： （1）向量组1，2 ，3 的线性组合有无穷多个 （2）一个向量有可能可由向量组1，2 ，3 的线性表示；
也有可能不能由向量组1，2 ，3 的线性表示。
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定义1对于向量组1，2， ，m ，如果有一组数
k1，k2， ，km，使 k11k22 kmm， 则称向量是向量组1，2 ， ，m的一个线性组合， 或称可由向量组1，2 ， ，m线性表示。 例2．任何一个n维向量(a1, a2, , an) T都是n维向量组 e1(1, 0, , 0) T ，e2(0, 1, , 0) T ， ，en(0, 0, , 1) T的线 性组合。 这是因为a1e1 a2e2 an en。
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例7．设向量1(1, 2, 3) ， 2(0,1,4) ， 3(2, 3, 6) (-1,1, 5)，证明由向量组1，2， 3线性表示并写出具体 的表示式。 解：考虑线性方程组x11Tx22T x33T T。因为 ( 1T 2T3T T)
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3。 可由1，2， ，m线性表示的判定方法： 定理 n维列向量可由n维列向量组1，2， ，m线性表示 的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程 组 x11 x22 xm m 有解。 a x a x a x b
若是，写出表示式。 解：设x11x22 x３３ 由此可得线性方程组
- x 2 2 x3 2 x1 - x1 2 x2 - 3x3 3 2 x - 3x 6 x -1 2 3 1
解此线性方程组
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
- x 2 2 x3 2 x1 - x1 2 x2 - 3x3 3 2 x - 3x 6 x -1 2 3 1 1 -1 2 2 （12３ ） - 1 2 - 3 3 2 - 3 6 - 1
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定义1对于向量组1，2， ，m ，如果有一组数
k1，k2， ，km，使 k11k22 kmm， 则称向量是向量组1，2 ， ，m的一个线性组合， 或称可由向量组1，2 ， ，m线性表示。 。 例1．设 1(1, 0, 0)，2(0, 1, 0)，3(0, 0, 1)，则 ∵21-23 2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0, 1) (2, -1, 1)， (2, -1, 1)是向量组1，2 ，3的一个线性组合， 也就是可由1，2 ，3线性表示。
( 1 2 2) 1 2 -1 5 2 -1 1 1 4 1 2 3 0 -5 0 0 3 11 0 -9 4 1 2 -5 0 1 4 0 3 -9 0 0 4 1 4 0
1 2 4 0 1 1 ， 0 0 1 0 0 0 秩(1 2 2)秩(1 2)，所以2不能由1，2线性表示。
第三节 向量组的线性组合
(一)、向量组的线性组合 1。向量组： 定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成
的集合称为向量组．
当R(A) < n 时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解
组成的向量组含有无穷多个向量．
a11 A34 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
∵增广矩阵 又因解为x1７， x2５ ， x３０ 所以 ７1５2 ０３
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1 0 0 7 0 1 0 5 0 0 1 0
因为线性方程组有解，所以 可由1，2 ，３线性表示
例6．判断向量1(4, 3, -1, 11) T与2(4, 3, 0, 11) T是否 各为向量组1(1, 2, -1, 5) T，2(2, -1, 1, 1) T的线性组合。 若是，写出表示式。
提示： 线性方程组 x11 x22 xm m 有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩， 即矩阵(1 2 m)与矩阵(1 2 m )的秩相等。
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3。 可由1，2， ，m线性表示的判定方法： 定理 n维列向量可由n维列向量组1，2， ，m线性表示 的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程 组 x11 x22 xm m 有解。 定理′ n维行向量可由n维行向量组1，2， ，m线性表示 的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程 组 x11T x22T xm mT T有解。 推论： （1） n维列向量可由n维列向量组1，2， ，m线性表示 秩(1 2 m)=秩(1 2 m )
（2） n维行向量可由n维行向量组1，2， ，m线性表示 秩(1T 2 T mT)=秩(1T 2T mT T)
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2 1 -1 2 例5 设 3 , 1 - 1, 2 2 , 3 - 3 - 1 2 - 3 6 判断向量是否为向量组1 ，2 ， ３ 的线性组合。
e1 , e2 , e3 的 线性组合
2 1 0 0 b 3 2 0 3 1 7 那么 0 2e1 3e2 7e3 7 0 0 1 线性组合的系数
向量组e1，e2， ，en称为n维单位向量组或n维基本向量组
结论：任何一个n维向量(a1, a2, , an)都可由n维单位向
量组或n维基本向量组线性表示
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1 0 0 例：设 E e1 , e2 , e3 0 1 0 0 0 1
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例6．判断向量1(4, 3, -1, 11) T与2(4, 3, 0, 11) T是否 各为向量组1(1, 2, -1, 5) T，2(2, -1, 1, 1) T的线性组合。 若是，写出表示式。
解： (2)考虑线性方程组x11x22 2。因为
1 1 1 1 1 2 1 0 例：设 a1 , a2 , a3 , b 2 1 4 3 2 3 0 1
证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式．
T a14 1 , , , T a24 1 2 3 4 2 T a34 3
有限向量 组
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
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(一)、向量组的线性组合
1。向量组： 定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成
解：(1)考虑线性方程组x11x22 1。因为
( 1 2 1) 1 2 -1 5 2 -1 1 1 4 1 2 3 0 -5 -1 0 3 11 0 -9 4 1 2 -5 0 1 3 0 0 -9 0 0 4 1 0 0
1 0 2 0 1 1 ， 0 0 0 0 0 0 秩(1 2 1)秩(1 2)，所以1可由1，2线性表示。 因为线性方程组的解为x12， x21，所以使212 。
解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ．
的集合称为向量组．
2。向量组的线性组合与线性表示
定义1 对于向量组1，2， ，m ，如果有一组数 k1，k2， ，km，使 k11k22 kmm， 则称向量是向量组1，2 ， ，m的一个线性组合， 或称可由向量组1，2 ， ，m线性表示。
秩( 1T 2T3T T) 秩( 1T 2T3T)，所以可由1，2 ， 3 线性表示。 因为线性方程组的解为x11， x22， x3-1， 所以 122 -3
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