初二数学---面积法解题

初二数学---面积法解题

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初二数学---面积法解题

【本讲教育信息】

【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用

面积法解几何问题

【教学目标】

1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的

方法。

2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。

【重点、难点】：

重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。

难点：灵活运用所学知识证明面积问题。【教学过程】

（一）证明面积问题常用的理论依据

1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等

的部分。

2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相

等的部分。

4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于

高的比。

同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形

的面积的一半。

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8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

（二）证明面积问题常用的证题思路和方法

1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

4. 还可以利用面积解决其它问题。

【典型例题】（一）怎样证明面积问题

1. 分解法

例1. 从△ABC 的各顶点作三条平行线AD 、BE 、CF ，各与对边或延长线交于D 、E 、F ，求证：△DEF 的面积＝2△ABC 的面积。

分析：从图形上观察，△DEF 可分为三部

6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的。14

7.14

三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的。 F

E

A

B D C

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分，其中①是△ADE ，它与△ADB 同底等 ③三是△AEF ，只要再证出它与△ABC 的面积相等即可

由S △CFE ＝S △CFB

故可得出S △AEF ＝S △ABC

证明：∵AD//BE//CF

∴△ADB 和△ADE 同底等高

∴S △ADB ＝S △ADE

同理可证：S △ADC ＝S △ADF

∴S △ABC ＝S △ADE +S △ADF

又∵S △CEF ＝S △CBF

∴S △ABC ＝S △AEF

∴S △AEF +S △ADE +S △ADF ＝2S △ABC

∴S △DEF ＝2S △ABC 2. 作平行线法

例2. 已知：在梯形ABCD 中，DC//AB ，M 为腰BC 上的中点

分析：由M 为腰BC 的中点可想到过M 作底的平行线MN ，则MN 为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h 高，故S S ADE ADB

∆∆=②二是△，和上面一样，ADF S S

ADF ADC

∆∆=求证：S S ADM ABCD ∆=12

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证明：过M 作MN//AB

∵M 为腰BC 的中点

∴MN 是梯形的中位线

设梯形的高为h

（二）用面积法解几何问题

有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：

性质1：等底等高的三角形面积相等

性质2：同底等高的三角形面积相等

性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半

性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比

性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比

A B

S S S MN h S AMD DMN AMN ABCD ∆∆∆=+=⋅=1212MN DC AB =+2则S MN h ABCD =⋅又 S S S MN h AMD AMN MND ∆∆∆=+=⋅12∴=S S ADM ABCD ∆12

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1. 证线段之积相等

例3. 设AD 、BE 和CF 是△ABC 的三条高，求证：AD ·BC ＝BE ·AC ＝CF ·AB

分析：从结论可看出，AD 、BE 、CF 分别是BC 、AC 、AB 三边上的高，故可联想到可用面积法。

证明：∵AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高

2. 证等积问题

例4. 过平行四边形ABCD 的顶点A 引直线，和BC 、DC 或其延长线分别交于E 、F ，求证：S △ABF ＝S △ADE

分析：因为AB//DF ，所以△ABF 与△ABC 是同底AB 和等高的两个三角形，所以这两个三A F E

B D C

∴=⋅=⋅=⋅S AD BC BE AC CF AB ABC ∆222

∴⋅=⋅=⋅AD BC BE AC CF AB

A D

B E C

F

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角形的面积相等。

证明：连结AC

∵CF//AB

又∵CE//AD

3. 证线段之和

例5. 已知△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，BH ⊥AC ，求证：PE+PF ＝BH

分析：已知有垂线，就可看作三角形的高，连结AP ，则

故PE+PF ＝BH

证明：连结AP ，则 ∴==S S S ABF ABC ABCD ∆∆12平行四边形∴==

S S S ADE ACD ABCD ∆∆12

平行四边形∴=S S ABF ADE ∆∆ A H F

E

B P C

S S S AB PE AC PF ABC ABP APC ∆∆∆=+=⋅+⋅1212又由，所以AB AC S AC PE PF ABC ==⋅+∆12()又S AC BH ABC ∆=⋅12S S S ABC ABP APC

∆∆∆=+