三年级奥数整数的速算与巧算

整数速算与巧算(二) 知识框架

一、整数四则运算定律

(1) 加法交换律：a b b a 的等比数列求和

2)加法结合律：(a b) ca (b c)

3)乘法交换律：a b ba

4)乘法结合律：(a b) ca (b c)

5)

乘法分配律：a (b c) a b a c；(b c) a b a c a

6)减法的性质：a b ca (b c)

7)除法的性质：a (b

c) a b c；

8)除法的“左”分配律：(a b) c a c b c；(a b) c a c b c ，这里尤其要注意，除法

是没有“右”分配律的，即 c (a b) c a c b 是不成立的！

备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．

二、利用位值原理思想进行巧算

( 1) 位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“ 2”,写在个位上，就表示 2 个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

( 2) 位值原理的表达形式：

以六位数为例：abcdef a 100000 b 10000 c 1000 d 100 e 10 f

以具体数字为例：389762 3 100000 8 10000 9 1000 7 100 6 10 2

三、提取公因数思想

1. 乘法运算中的提取公因数：

( 1) 乘法分配律：a (b c) a b a c 或(b c) a b a c a

(2) 提取公因数即乘法分配律的逆用：a b a c a (b c) 或b a c a (b c) a

2. 除法运算中的提取公因数：

例题精讲

一、位值原理

答案】 4318

例 2】 计算： (1234 2341 3412 4123) 5 考点】位值原理 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】 2008年，第 8 届，走美杯， 3年级，决赛，第 1题，8 分

解析】 原式中千位数的和除以 5为，(1 2 3 4) 5 2 ，同样百位、十位、个位都为 2 答案】 2222

巩固】 计算： (9876+7967+6688+8799) 5

考点】 位值原理 【难度】 3 星 【题型】填空

解析】 (9876+7967+6688+8799) 5 (9 8

7 6) 1111 5 6666

答案】

6666

例 3】

计算： (123456 234561 345612

456123 561234 612345) 3

考点】 位值原理 【难度】 3 星

【题型】计算

解析】仔细观察我们可以发现 1、2、3、4、5、6 分别在个、十、百、千、万、十万

例 1】

计算： 123

223 423 523 723 823 ．

考点】位值原理

难度】

2星 【题型】计算

解析】

原式 (100

23) (200

23)

(400 23)

(500 23) (700 23) (800

23)

(100 200 400

500 700 800) 23 6 2700 138

2838

答案】

2838

巩固】 计 算： 853 253 1153 953 653 453

考点】位值原理

难度】

3星

【题型】计算

解析】 原 式 (8 2 11 96 4) 100 53 6 40 100 50 6 3 6 4000

300 18 4318

1) 除法的“左”分配律： (a b) c a c b c ； (a b) c a c b c

2) 除法的“左”提取公因数：

a c

b

c (a b) c

，所以结果为 2222。

6 个数位上各出现

过一次，所以

原式[(1 2 3 4 5 6) 100000 (1 2 345 6) 10000 (1 2 3 4 5 6) 1000

(1 2 3 4 5 6) 100 (1 2 3 4 5 6) 10 (1 2 3 4 5 6)] 3

[(1 2 3 4 5 6) 111111] 3 21 111111 3 7 111111 777777 ．

答案】777777

巩固】计算：(1234567 2345671 3456712 4567123 5671234 6712345 7123456) 7 考点】位值原理【难度】3 星【题型】计算

解析】括号内的7个加数，都是由1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成，换句话说，这7个数的每一位也分别是

1、2、3、4、5、6、7，它们的和是28，即如果不进位，每一位的和都是28．所以

原式(28 1000000 28 100000 28 10000 28 1000 28 100 28 10 28) 7

28 1111111 7 1111111 (28 7) 4444444

答案】4444444

例4】计算：(1234 2341 3412 4123) (1 2 3 4)

【题型】计算

考点】位值原理

【难度】2 星

关键词】第五届，希望杯

解析】

原式(1 2 3 4) 1111 (1 2 3 4) 1111．

答案】1111

巩固】计算：(1357 3571 5713 7135) ( 13 5 7)

考点】位值原理【难度】2 星【题型】计算

解析】原式(1 3 5 7) 1111 (1 3 5

7) 1111

答案】1111

例5】计算：(123456 234561 345612 456123 561234 612345) 111111

考点】位值原理【难度】3 星【题型】计算

解析】

原式(1 2 3 4 5 6) 111111 111111 21

答案】21

巩固】计算：(15971 53353 37535 79717 91199) 55555

考点】位值原理【难度】3 星【题型】计算

解析】原式(15971 53353 37535 79717 91199) 55555 25 11111 55555 5

答案】5