函数的平均变化率讲解
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人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－ 4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率； (2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
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RB . 数学 . 选修2-2
若Δx＝13，则 k1＝－2－13＝－73，k2＝－4－13＝－133，k3 ＝－6－13＝－139.
由于k1>k2>k3， ∴函数f(x)＝－x2在x＝1附近的平均变化率最大.
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平均变化率的应用
RB . 数学 . 选修2-2
已知某质点按规律s＝(2t2＋2t)(单位：m)作直线运动， 求：
本例中的“函数f(x)＝x2”变为“f(x)＝x2＋a”和“f(x)＝ －x2”，则结论如何？
【解】 当 f(x)＝x2＋a 时， f(x) 在 x ＝ 1 附 近 的 平 均 变 化 率 为 k1 ＝ f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝[（1＋Δx）2Δ＋xa]－（1＋a）＝2＋Δ x；
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已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1， 2]，[1，1.5]，[1，1＋Δx]的平均变化率．
【 解 】 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 3] 的 平 均 变 化 率 为
f（3）3－ －f1（1）＝32＋3－（2 12＋1）＝5；
函数 f(x)在区间[1，2]的平均变化率为f（2）2－－f1（1）＝
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 在 x＝1 附近的平均变化率为 k1 ＝ f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝（1＋ΔΔxx）2－1＝2＋Δx；
在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝f（2＋ΔxΔ）x－f（2）＝（2＋ΔΔxx）2－22＝4＋Δx； 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f（3＋ΔxΔ）x－f（3）＝（3＋ΔΔxx）2－32＝6＋Δx.
在
x＝2
附近的平均变化率为
k2
＝
f（2＋Δx）－f（2） Δx
＝
[－（2＋ΔxΔ）x2]－（－4）＝－4－Δx；
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在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f（3＋ΔxΔ）x－f（3） ＝[－（3＋ΔxΔ）x2]－（－9）＝－6－Δx.
【解】 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平均变化 率为h（0.50）.5－ －h0（0）＝4.05(m/s)；
(2)在 1≤t≤2 这段时间内，高度 h 的平均变化率为 h（2）2－ －h1（1）＝－8.2(m/s)．
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用定义法求平均变化率的基本步骤是：(1)作差求Δx； (2)求出Δy，对Δy 进行变形，通常用到的变形有：通分、配 方、分母(子)有理化等；(3)作商求出ΔΔxy.
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22＋2－（1 12＋1）＝4；
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函数 f(x)在区间[1，1.5]的平均变化率为f（1.51）.5－－f1（1）＝
1.52＋1.5－0.5（12＋1）＝3.5.
函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 1 ＋ Δ x] 的 平 均 变 化 率 为
＝3·Δx，
∴ΔΔxy＝3·ΔΔx x＝3，
即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.
②∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)
＝[2×(1＋Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4·Δx＋2·(Δx)2，
∴ΔΔxy＝4·Δx＋Δ2·x（Δx）2＝4＋2·Δx，
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即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.
【思路探究】 先求自变量的增量和函数值的增量，然 后代入公式求解．
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【自主解答】 (1)①∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝f(－1)－f(－3)＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝ 6，
∴ΔΔxy＝62＝3，即 f(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为
【提示】 因ΔΔxy表示 A，B 两点所在直线的斜率 k，显 然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，
竖直位移与水平位移之比ΔΔxy越大，山坡越陡，反之，山坡 越缓．
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率的定义 一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两 点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
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RB . 数学 . 选修2-2 在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝f（2＋ΔxΔ）x－f（2） ＝[（2＋Δx）2＋Δax]－（22＋a）＝4＋Δx； 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f（3＋ΔxΔ）x－f（3） ＝[（3＋Δx）2＋Δax]－（32＋a）＝6＋Δx. 若Δx＝13，则 k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝ 19 3.
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函数的平均变化率
【问题导思】 假设图1－1－1是一座山的剖面示意图，并建立如图所示 平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝ f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表 示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐 标为(x1，y1)．
3. ②∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝g(－1)－g(－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝
－16，
∴ΔΔxy＝－216＝－8，
即 g(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为－8.
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(2)①∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)
f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）－1
＝
（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1） Δx
＝3Δx＋Δ（xΔx）2＝3＋Δx.
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平均变化率的大小比较 求函数 f(x)＝x2 在 x＝1，2，3 附近的平均变化率， 取Δ x 的值为13，哪一点附近平均变化率最大？ 【思路探究】 先求出平均变化率ΔΔxy，再把 x0，Δx 代入比较大小即可．
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由于 k1<k2<k3， ∴函数 f(x)＝x2＋a 在 x＝3 附近的平均变化率最大． 当 f(x)＝－x2 时，
f(x)在 x＝1 附近的平均变化率为 k1＝f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝ [－（1＋ΔxΔ）x2]－（－1）＝－2－Δx；
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2．过程与方法 (1)通过观察直观的图形，培养学生的观察能力及抽象概 括能力； (2)引导学生体会特殊到一般，具体到抽象的思想方法． 3．情感、态度与价值观 (1)体会领悟不同曲线的变化率的区别； (2)通过合作交流，树立自信心，形成合作意识．
(1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度．
【思路探究】 因为Δs 是质点在Δt 这段时间内的位移， 所以ΔΔst就是质点在Δt 这段时间内的平均速度．
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【自主解答】 (1)由题设知，Δt＝3 s， Δs＝s(3)－s(0)＝24 m， ∴平均速度为 v＝ΔΔst＝8 m/s. (2)由题设知：Δt＝3－2＝1 s，Δs＝s(3)－s(2)＝12 m. ∴平均速度为 v＝ΔΔst＝12 m/s.
教 学 教 法 分 析
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 后 知 能 检 测
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1．1 导 数 1．1.1 函数的平均变化率
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解并掌握平均变化率的概念； (2)会求函数在指定区间上的平均变化率； (3)能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．
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图 1－1－1
1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变 量x和函数值y的改变量分别是多少？
【提示】 自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值 的改变量为y1－y0，记作Δy.
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2．比较平均变化率的方法步骤： (1)求出两不同点处的平均变化率． (2)作差(或作商)，并对差式(商式)作合理变形，以便探讨 差的符号(商与1的大小)． (3)下结论．
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变量作差顺序不对应致误
已知曲线y＝－2x3＋2和这条曲线上的两个点P(1， 0)、Q(2，－14)，求该曲线在PQ段的平均变化率．
【错解】 ∵Δx＝2－1＝1，Δy＝0－(－14)＝14， ∴Δ Δyx＝114＝14.
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【错因分析】 在函数的平均变化率的求法公式中，Δy 必须对应于Δx，即若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)；若Δx＝ x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)．
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1．求质点运动的平均速度，实质与求函数的平均变化率 相同．
2．解答此类问题，首先要明确自变量与函数值的实际意 义，弄清楚函数的单调性，然后利用定义求平均变化率，并 结合题意回答有关问题．
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若Δx＝13，则 k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝ 19 3.
由于 k1<k2<k3. ∴在 x＝3 附近的平均变化率最大．
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1．曲线的“陡峭”程度与函数平均变化率的关系： (1)平均变化率为正值时，ΔΔxy越大，曲线越“陡”，反 之越“平直”． (2)平均变化率为负值时，ΔΔxy越大，曲线越“平直”， 反之越“陡”．
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2．Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？ 【提示】 不能． 3．怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 【提示】 对山坡 AB 来说，Δ Δyx＝yx11－ －yx00可近似地刻画．
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4．能用ΔΔ
y刻画山路陡峭程度的原因是什么？ x
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平 均变化率．
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求函数的平均变化率
已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g (x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率．
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●重点难点 重点：在实际背景下，借助函数图象直观地理解平均变 化率，得到平均变化率的公式． 难点：对生活现象中的变化情况作出相应的数学解释．
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课标 解读
1.通过实例了解函数平均变化率的意义. 2.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 的方法与步骤．(重点、难点)
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率； (2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
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若Δx＝13，则 k1＝－2－13＝－73，k2＝－4－13＝－133，k3 ＝－6－13＝－139.
由于k1>k2>k3， ∴函数f(x)＝－x2在x＝1附近的平均变化率最大.
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平均变化率的应用
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已知某质点按规律s＝(2t2＋2t)(单位：m)作直线运动， 求：
本例中的“函数f(x)＝x2”变为“f(x)＝x2＋a”和“f(x)＝ －x2”，则结论如何？
【解】 当 f(x)＝x2＋a 时， f(x) 在 x ＝ 1 附 近 的 平 均 变 化 率 为 k1 ＝ f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝[（1＋Δx）2Δ＋xa]－（1＋a）＝2＋Δ x；
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已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1，3]，[1， 2]，[1，1.5]，[1，1＋Δx]的平均变化率．
【 解 】 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 3] 的 平 均 变 化 率 为
f（3）3－ －f1（1）＝32＋3－（2 12＋1）＝5；
函数 f(x)在区间[1，2]的平均变化率为f（2）2－－f1（1）＝
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【自主解答】 在 x＝1 附近的平均变化率为 k1 ＝ f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝（1＋ΔΔxx）2－1＝2＋Δx；
在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝f（2＋ΔxΔ）x－f（2）＝（2＋ΔΔxx）2－22＝4＋Δx； 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f（3＋ΔxΔ）x－f（3）＝（3＋ΔΔxx）2－32＝6＋Δx.
在
x＝2
附近的平均变化率为
k2
＝
f（2＋Δx）－f（2） Δx
＝
[－（2＋ΔxΔ）x2]－（－4）＝－4－Δx；
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在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f（3＋ΔxΔ）x－f（3） ＝[－（3＋ΔxΔ）x2]－（－9）＝－6－Δx.
【解】 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平均变化 率为h（0.50）.5－ －h0（0）＝4.05(m/s)；
(2)在 1≤t≤2 这段时间内，高度 h 的平均变化率为 h（2）2－ －h1（1）＝－8.2(m/s)．
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用定义法求平均变化率的基本步骤是：(1)作差求Δx； (2)求出Δy，对Δy 进行变形，通常用到的变形有：通分、配 方、分母(子)有理化等；(3)作商求出ΔΔxy.
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22＋2－（1 12＋1）＝4；
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函数 f(x)在区间[1，1.5]的平均变化率为f（1.51）.5－－f1（1）＝
1.52＋1.5－0.5（12＋1）＝3.5.
函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 1 ＋ Δ x] 的 平 均 变 化 率 为
＝3·Δx，
∴ΔΔxy＝3·ΔΔx x＝3，
即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.
②∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)
＝[2×(1＋Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4·Δx＋2·(Δx)2，
∴ΔΔxy＝4·Δx＋Δ2·x（Δx）2＝4＋2·Δx，
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即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.
【思路探究】 先求自变量的增量和函数值的增量，然 后代入公式求解．
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【自主解答】 (1)①∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝f(－1)－f(－3)＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝ 6，
∴ΔΔxy＝62＝3，即 f(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为
【提示】 因ΔΔxy表示 A，B 两点所在直线的斜率 k，显 然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，
竖直位移与水平位移之比ΔΔxy越大，山坡越陡，反之，山坡 越缓．
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率的定义 一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两 点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
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RB . 数学 . 选修2-2 在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝f（2＋ΔxΔ）x－f（2） ＝[（2＋Δx）2＋Δax]－（22＋a）＝4＋Δx； 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f（3＋ΔxΔ）x－f（3） ＝[（3＋Δx）2＋Δax]－（32＋a）＝6＋Δx. 若Δx＝13，则 k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝ 19 3.
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函数的平均变化率
【问题导思】 假设图1－1－1是一座山的剖面示意图，并建立如图所示 平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝ f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表 示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐 标为(x1，y1)．
3. ②∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝g(－1)－g(－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝
－16，
∴ΔΔxy＝－216＝－8，
即 g(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为－8.
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(2)①∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)
f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）－1
＝
（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1） Δx
＝3Δx＋Δ（xΔx）2＝3＋Δx.
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平均变化率的大小比较 求函数 f(x)＝x2 在 x＝1，2，3 附近的平均变化率， 取Δ x 的值为13，哪一点附近平均变化率最大？ 【思路探究】 先求出平均变化率ΔΔxy，再把 x0，Δx 代入比较大小即可．
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由于 k1<k2<k3， ∴函数 f(x)＝x2＋a 在 x＝3 附近的平均变化率最大． 当 f(x)＝－x2 时，
f(x)在 x＝1 附近的平均变化率为 k1＝f（1＋ΔxΔ）x－f（1）＝ [－（1＋ΔxΔ）x2]－（－1）＝－2－Δx；
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2．过程与方法 (1)通过观察直观的图形，培养学生的观察能力及抽象概 括能力； (2)引导学生体会特殊到一般，具体到抽象的思想方法． 3．情感、态度与价值观 (1)体会领悟不同曲线的变化率的区别； (2)通过合作交流，树立自信心，形成合作意识．
(1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度．
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【自主解答】 (1)由题设知，Δt＝3 s， Δs＝s(3)－s(0)＝24 m， ∴平均速度为 v＝ΔΔst＝8 m/s. (2)由题设知：Δt＝3－2＝1 s，Δs＝s(3)－s(2)＝12 m. ∴平均速度为 v＝ΔΔst＝12 m/s.
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1．1 导 数 1．1.1 函数的平均变化率
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图 1－1－1
1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变 量x和函数值y的改变量分别是多少？
【提示】 自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值 的改变量为y1－y0，记作Δy.
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2．比较平均变化率的方法步骤： (1)求出两不同点处的平均变化率． (2)作差(或作商)，并对差式(商式)作合理变形，以便探讨 差的符号(商与1的大小)． (3)下结论．
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已知曲线y＝－2x3＋2和这条曲线上的两个点P(1， 0)、Q(2，－14)，求该曲线在PQ段的平均变化率．
【错解】 ∵Δx＝2－1＝1，Δy＝0－(－14)＝14， ∴Δ Δyx＝114＝14.
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1．求质点运动的平均速度，实质与求函数的平均变化率 相同．
2．解答此类问题，首先要明确自变量与函数值的实际意 义，弄清楚函数的单调性，然后利用定义求平均变化率，并 结合题意回答有关问题．
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RB . 数学 . 选修2-2
若Δx＝13，则 k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝ 19 3.
由于 k1<k2<k3. ∴在 x＝3 附近的平均变化率最大．
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1．曲线的“陡峭”程度与函数平均变化率的关系： (1)平均变化率为正值时，ΔΔxy越大，曲线越“陡”，反 之越“平直”． (2)平均变化率为负值时，ΔΔxy越大，曲线越“平直”， 反之越“陡”．
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2．Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？ 【提示】 不能． 3．怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 【提示】 对山坡 AB 来说，Δ Δyx＝yx11－ －yx00可近似地刻画．
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4．能用ΔΔ
y刻画山路陡峭程度的原因是什么？ x
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平 均变化率．
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求函数的平均变化率
已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g (x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率．
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●重点难点 重点：在实际背景下，借助函数图象直观地理解平均变 化率，得到平均变化率的公式． 难点：对生活现象中的变化情况作出相应的数学解释．
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课标 解读
1.通过实例了解函数平均变化率的意义. 2.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 的方法与步骤．(重点、难点)