36、2020年北京初三数学二模分类汇编：新定义(教师版)

2020年北京初三数学二模分类汇编：

新定义

【题1】（2020·东城28二模）

28. 对于平面直角坐标系xOy内任意一点P，过P点作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，连接MN，则称

MN的长度为点P的垂点距离，记为h．特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0．

(1)点A(2,0)，B(4,4)，C(－)的垂点距离分别为_______,________,________；

(2)点P在以Q为圆心，半径为3的⊙M上运动，直接写出点P的垂点距离h的取值范围；

(3)点T为直线l：y+6位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点

T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围．

【题2】（2020·西城28二模）

28. 对于平面直角坐标系xOy 中的定点P 和图形F ，给出如下定义：若在图形F 上存在一点

N ，使得点Q ，点P 关于直线ON 对称，则称点Q 是点P 关于图形F 的定向对称点. （1）如图，(10)，A ，(11)，B ，(02)，P ，

① 点P 关于点B 的定向对称点的坐标是 ；

② 在点(02)，-C ，(1，-D ，(21)，-E 中， 是点P 关于线段AB 的 定向对称点.

（2）直线：=

+l y x b 分别与x 轴，y 轴交于点G ，H ，⊙M 是以点(20)，M 为圆心，(0)>r r 为半径的圆.

① 当1=r 时，若⊙M 上存在点K ，使得它关于线段GH 的定向对称点在线段GH 上，求b 的取值范围；

② 对于0>b ，当3=r 时，若线段GH 上存在点J ，使得它关于⊙M 的定向对称点在⊙M 上，直接写出b 的取值范围.

28．解：（1） ①()2,0；

② C ，D ．

（2） ① 由题意，0b ≠，

若0>b ，

当直线l 与以点()2,0-为圆心，1为半径的圆相切时，3

=

b ．

当直线l 经过点()1,0-时，3

=

b ．

∴b ． 若0

当直线l 经过点()1,0时，3

=-

b ．

当直线l 与以点()0,0为圆心，3为半径的圆相切时，=-b ．

∴-b ≤3

-

．

综上，b 的取值范围是-b ≤3-

或3≤b ≤3

．

b ··························································· 7分

【题3】（2020·海淀28二模）

28．在平面内，对于给定的△ABC ，如果存在一个半圆或优弧与△ABC 的两边相切，且该弧上的所有

点都在△ABC 的内部或边上，则称这样的弧为△ABC 的内切弧．当内切弧的半径为最大时，称该 内切弧为△ABC 的完美内切弧．（注：弧的半径指该弧所在圆的半径） 在平面直角坐标系xOy 中，A (8,0)，B (0,6).

（1）如图1，在弧G 1，弧G 2，弧G 3中，是△OAB 的内切弧的是 ；

（2）如图2，若弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切，求弧G 的半径的最大值； （3）如图3，动点M (m ,3)，连接OM ，AM .

①直接写出△OAM 的完美内切弧半径的最大值；

②记①中得到的半径最大时的完美内切弧为弧T ．点P 为弧T 上的一个动点，过点P 作x 轴 的垂线，分别交x 轴和直线AB 于点D ，E ，点F 为线段PE 的中点，直接写出线段DF 长度的取值范围．

28. 解：（1）弧G 2，弧G 3.

（2）∵ 弧G 为△OAB 的内切弧，且弧G 与边AB ，OB 相切,

∴ 弧G 所在圆的圆心在∠OBA 的角平分线BI 上. 易知若弧G 的半径最大，则弧G 所在圆的圆心I 在 △OAB 的边OA 上. 设弧G 与边AB ，OB 相切分别 切于点O ，H. ∴ IH ⊥AB . ∵ A (8,0)，B (0,6),

∴ BO ＝6，AO ＝8 ，AB

＝10. ∵ ∠IOB ＝∠ IHB ＝90°，OI ＝IH ，BI ＝BI , ∴ △IOB ≌△IHB .

∴ BH ＝BO ＝6.

∴ AH ＝AB －BH =4，AI ＝AO －OI ＝8－OI ，OI ＝HI . 在Rt△AIH 中, AI 2＝AH 2＋HI 2, 即222(8)4OI OI -=+. 解得OI ＝3.

（3）①△OAM 的完美内切弧半径的最大值为

125

.

图 1

图

2

图

3

备用图

②线段DF 长度的取值范围是3

35

DF ≤≤且4825DF ≠. 注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.

【题4】（2020·朝阳28二模）

28.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下定义:Q 为图形M 上任意一点，如果,P Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点P 与图形M 间的开距离，记作(),d P M .

已知直线3

(0)y x b b =

+≠与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B O e ，的半径为1 (1)若2b =， ①求,()d B O e 的值;

②若点C 在直线AB 上，求,()d C O e 的最小值;

(2)以点A 为中心，将线段AB 顺时针旋转120︒得到AD ，点E 在线段,AB AD 组成的图形上，若对于任意点E ，总有2,6()d E O ≤

∴d (B ,⊙O )=3.

②如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，此时d (C ,⊙O )取得最小值. ∵直线3

2y x =

+与x 轴交于点A ， ∴A (-23,0). ∴OA =23,OB =2. ∴∠OAB =30°.

∴3OC =.

∴d (C ,⊙O )的最小值为31+.

（2）57232357

b b -

-＜≤或≤＜

.

【题5】（2020·丰台28二模）

28. 过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆，特别地，半径最小．．

的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆.