第八章 矩阵的特征值和特征向量的计算

第八章矩阵的特征值和特征向量的计算

矩阵的特征值和特征向量

乘幂法

反幂法

矩阵特征值和特征向量计算

特征值与特征向量A x = λx ( λ∈C ,x ≠0 )

性质

(1)tr(A ) = a 11+ a 22+ ⋅⋅⋅+ a nn = λ1 + λ2+ ⋅⋅⋅+ λn (2)det(A ) = λ1 λ2⋅⋅⋅λn

(3)若B = P -1AP 则A 与B 具有相同的特征值；x 是B 的特征向量⇔Px 是A 的特征向量.

/* Calculation of Eigenvalue and Eigenvector of Matrix */

乘幂法

乘幂法：计算实矩阵按模最大的特征值

假设：(1) |λ1| >|λ2| ≥…≥|λn | ≥0

(2)对应的n 个线性无关特征向量为：x 1, x 2, ..., x n 。

计算过程：任取一个非零向量v ，要求满足(x 1,v )≠0

计算v 1=Av 0, v 2=Av 1, ..., v k +1=Av k , ...，直到收敛。

收敛分析

011221(0) n n v x x x αααα=+++≠10111222n n n

v Av x x x αλαλαλ==+++111

1222k k k

k k n n

n

v Av x x x

αλαλαλ-==+++ 21112211k

k

k

n n n x x x λλλαααλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥

⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

1

11

k x λα

当k 充分大时，有

1

11k k v x λα≈11111

k k v x

λα++≈11k k v v λ+≈又1k k

v Av +=1k k

Av v λ≈()()11

k j

k j

v v λ+≈( j =1, 2, ... , n )

v k 为λ1的近似特征向量

乘幂法的收敛速度取决于的大小。

21

r λλ=算法(乘幂法)

任取非零向量v 0，计算

1. v k +1 = Av k

2. 对v k 中所有非零分量(v k )j ，判断是否近似于某个常

数，如果是，则停机；否则转第1 步。

()()1k j

k j

v v +乘幂法

求矩阵按模最大的特征值。126661626216A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

乘幂法中存在的问题：

1

11k

k v x λα≈1||1

, λ>∞1|1

,|0 λ<改进：规范化

max()

k

k k v u v =1k k

v Au +=表示绝对值最大的分量练习题

乘幂法

max()

k

k k v u v =

21112211k k

k

n k n n v x x x λλλαααλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥

⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦

1max()k k k k Av v Au v +==1

11121111121max k n k i i i i k n k i i i i x x x x λ

λααλλλλααλ+==⎡⎤⎛⎫+⎢⎥

⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⋅⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪

+⎢⎥⎨⎬

⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣

⎦⎩⎭∑∑1

111211111121max max()max k n k i i i i k k

n k i i i i x x v x x λλααλλλλααλ+=+=⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪+⎢⎥⎨⎬

⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭=⋅⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪+⎢⎥⎨⎬

⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣

⎦⎩⎭∑∑1

λ乘幂法

改进的乘幂法算法

任取非零向量v 0

3. 计算P k +1，若| P k +1-P k |<ε，则输出P k +1并停机；否则令k =k +1，转第2 步。

1. 求出v k 中按模最大的分量，设为P k

1, k

k k k

k

v u v Au P +==2. 计算例：用改进的乘幂法求按模最大的特征值和相应的特征向量。

3245A ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦

要求自己编写Matlab 程序,进行计算并给出结果.

乘幂法

乘幂法的收敛速度取决于的大小。

2

1

r λλ=原点平移法

当r 接近于1 时，乘幂法收敛可能会很慢！如何加速？

设B = A –pI ，则B 的特征值为：λi -p 选择适当的p 满足：

(1) (

j = 2, ... , n )1||||j p p λλ->-2

21

1max j j n p p λλλλ≤≤-<

-(2)用乘幂法求出矩阵B 的按模最大的特征值：λ1-p

乘幂法

乘幂法的加速

设 A 是n 阶非奇异矩阵，其特征值为

n n

λλλλ-≥≥≥>121 对应的特征向量为x 1, x 2, ..., x n ；反幂法适应范围：计算实矩阵按模最小的特征值则A -1的特征值为：n n

λλλλ-1211111, , ,

, 对应的特征向量仍然为x 1, x 2, ..., x n 。计算A 的按模最小特征值⇔

计算A -1的按模最大特征值

n λn

λ1

反幂法：对A -1 利用乘幂法，计算A 的按模最小特征值n

λA 可对角化

反幂法