最新02-2 收敛数列的性质
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02-2收敛数列的性
质
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§ 2 收敛数列的性质
1. 极限唯一性：若数列«Skip Record If...»收敛，则它只有一个极限。
证 （反证法）若数列«Skip Record If...»有两个极限收敛，«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...»
由«Skip Record If...»，（极限的几何定义）«Skip Record If...»外至多有数列«Skip Record If...»的有限项«Skip Record If...»内最多只有数列«Skip Record
If...»的有限项，与 «Skip Record If...»矛盾。
2 收敛数列有界性—— 收敛的必要条件
若数列«Skip Record If...»收敛，则数列«Skip Record If...»有界，即存在«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»«Skip Record If...» 都有 «Skip Record If...»
证明
由«Skip Record If...»，存在 «Skip Record If...» 时，«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»
记«Skip Record If...»，则对任意«Skip Record If...»都有：«Skip Record If...»
3 收敛数列保号性：
kip Re cor
d If...»
若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有
«Skip Record If...»；
若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有
«Skip Record If...»；
推论若 «Skip Record If...»则对«Skip Record If...»
证明
«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»
例1 设«Skip Record If...»证明：若 «Skip Record If...»则«Skip Record If...»（证）
定理2.5 设«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»
4迫敛性设«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»满足：存在«Skip Record If...»时，
«Skip Record If...»，则数列«Skip Record If...»收敛，且«Skip Record If...»证明 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...»
«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»
取 «Skip Record If...»时
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
所以 «Skip Record If...»
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例2 求 «Skip Record If...»
解法1） «Skip Record If...»，所以可将 «Skip Record If...»的形式，
«Skip Record If...»用牛顿二项式定理
«Skip Record If...»
«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»
由迫敛性 «Skip Record If...»
解法2）
«Skip Record If...»
5绝对值收敛性:
«Skip Record If...» ( 注意反之不确 ).
«Skip Record If...» ( 证 )
推论设数列{«Skip Record If...»}和{«Skip Record If...»}收敛, 则
«Skip Record If...»
6四则运算性质:
设«Skip Record If...»，则数列 «Skip Record If...»也收敛，且
«Skip Record If...»， «Skip Record If...»。
若«Skip Record If...»，则数列 «Skip Record If...»也收敛，且 «Skip Record If...»
证明（加法运算）
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»
«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»
«Skip Record If...»时
«Skip Record If...»
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乘法运算
«Skip Record If...»
利用收敛数列的有界性«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»时
«Skip Record If...»代入上式，得
«Skip Record If...»时«Skip Record If...»
商性质 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»若 «Skip Record If...»利用乘法性质即可得到商性质。
证明 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»
由保号性，存在«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»代入上式，得
«Skip Record If...»
再由 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例3 求 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»
利用收敛收敛数列的四则运算性质
«Skip Record If...»时
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»时
«Skip Record If...»
总之 «Skip Record If...»等于分子分母最高项系数的比。
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