§1 定积分的概念

§1 定积分的概念

1.1 定积分的背景——面积和路程问题

1.2 定积分

【选题明细表】

基础达标

1.如图所示是一个质点做直线运动的v t图像,则质点在前6 s内的位移s(单位:m)为( A )

(A)9 (B)12 (C)14 (D)15

解析:若把[0,6]这个区间分割得很小时,每一个小区间上都可以看作是匀速的,这时可用矩形面积近似地替代小梯形的面积,而质点在前6

s内的位移即为这些小矩形面积的和,这样只要求出图中三角形面积即可.

∴s=×3×6=9(m),故选A.

2.定积分dx的大小( A )

(A)与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关

(B)与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关

(C)与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关

(D)与f(x)、区间[a,b]和ξi的取法都有关

解析:∵从定义上考虑,当[a,b]分割的区间越小时,ξi的取值趋近相等,∴dx的大小与ξi无关,只与积分区间[a,b]及f(x)有关,故选

A.

3.设函数f(x)在区间[a,b]上单调递增,用分点a=x0

(C)精确值 (D)不确定

解析:∵f(x)在[a,b]上单调递增,

∴f(a)=f(x0)

即f(x i-1)

∴I n=f(x i)Δx>f(x i-1)Δx.

∴I n应为曲线所围成图形面积的过剩估计值,故选A.

4.(2012年鹤壁高二质检)已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则

f(x)dx等于( D )

(A)0 (B)4 (C)8 (D)16

解析:原式=f(x)dx+f(x)dx,

∵原函数为偶函数,

∴在y轴两侧的图像对称.

∴对应的面积相等.则f(x)dx=16,故选D.

5.定积分dy等于( D )

(A)由x=1+y,x=0,x=2与y=0所围成的图形的面积

(B)由x=1+y,y=0,x=2,x=0所围成的图形的面积

(C)由y=1+x,y=0,y=2,x=0所围成的图形的面积

(D)由x=1+y,y=0,y=2,x=0所围成的图形的面积

解析:dy等于由x=1+y,y=0、y=2与x=0所围成图形的面积,故选D.

6.一辆汽车在司机猛踩刹车后5 s内停下.在这一刹车过程中,下面各速度值被记录了下来:

则刹车踩下后汽车滑过的距离的不足估计值与过剩估计值分别

为.

解析:距离的不足估计值为18×1+12×1+7×1+3×1+0×1=40(m);距离的过剩估计值为27×1+18×1+12×1+7×1+3×1=67(m).

答案:40 m 67 m

7.下列等式中

①dx=m dx+n dx;

②dx=dx·dx;

③dx=2dx;

④dx=dx;

⑤dx=dx+dx.

其中不正确命题是(填写序号).

解析:利用定积分的性质知②、④不正确,①、⑤正确,对于③利用定积分的几何意义,因为被积函数f(x)=|x|在[-1,1]上为偶函数,其图像关于y轴对称,所以③也正确.

答案:②④

能力提升

8.曲线y=x3,直线x=0,y=1所围成的图形的面积可用定积分表示为.

解析:如图所示,阴影部分面积为

dx-dx=dx.

答案:dx

9.设S表示由曲线y=,直线x=1,x=2及x轴所围成平面图形的面积.当把区间[1,2]五等分时,试估计平面图形的面积,并写出估计值的误差.

解:如图所示,S的过剩估计值为

S1=(++++)×0.2

=(1++++)×0.2

≈3.73×0.2=0.746.

S的不足估计值为

S2=(++++)×0.2

=(++++)×0.2≈3.23×0.2=0.646.

∴S的过剩估计值与不足估计值之差为

S1-S2=0.746-0.646=0.1,

∴估计值的误差不会超过0.1.

10.利用定积分的几何意义求下面定积分:

(1)dx;

(2)dx;

(3)dx.

解:(1)曲线y=(y≥0)是圆x2+y2=R2位于x轴上部的半圆,于是由定积分的几何意义知为如图所示的上半圆的面积.

∴dx=.

(2)由定积分性质3,

dx

=dx-dx,

故原定积分的值可看作S1-S2的值,

其中dx=S1,

dx=S2,如图所示,S1=×π×22=π,S2=×2×4=4,

∴dx=S1-S2=π-4.

(3)如图所示,dx的几何意义为:x=0,x=2π,y=0和曲线y=sin x 构成的平面图形的面积.

∴dx=S1-S2=0.