圆锥曲线与方程教案设计

富县高级中学集体备课教案

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于

|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：

(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面”．

(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜| F1F2 |，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于| F1F2 |”．

(二)椭圆标准方程的推导

1．标准方程的推导

由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．

如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．

(1)建系设点

建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．

以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2-14)．设| F1F2 |=2c(c ＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．

(2)点的集合

由定义不难得出椭圆集合为

P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．

(3)代数方程

(4)化简方程（学生板演，教师点拨）

2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)

0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；

-c)、

F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．

教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．

(三)例题讲解

例、平面两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．

分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．

解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9．∴b=3

因此，这个椭圆的标准方程是

思考：焦点F1、F2放在y轴上呢？

（四）课堂练习：

(五)小结

1．定义：椭圆是平面与两定点F1、F2的距离的和等于常

数(大于|F1F2|)的点的轨迹．

3．图形

教

后

反

思

备课组长签字：天波年月日附注：课型填“常规课”或“复习课”或“习题课”或“多媒体课”。

富县高级中学集体备课教案

课题椭圆的简单性质第 1 课时

三维目标

1、通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭

圆的图形，并能根据几何性质解决一些简单的问题，从而培养我们的分析、

归纳、推理等能力。

2、掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，进一步体会数形结合的思想。

3、通过本小节的学习，进一步体会方程与曲线的对应关系，感受圆锥曲线在

刻画现实世界和解决实际问题中的作用

重点椭圆的几何性质及初步运用．中

心

发

言

人

周鹏难点椭圆离心率的概念的理解．

教具课型常规课课时安排--1 -课时教法学法个人主页

教

学

过

程

(一)复习提问

1．椭圆的定义是什么？

2．椭圆的标准方程是什么？

(二)几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出

它的图形，是解析几何的基本问题之一。

1、围

即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线

y=±b所围成的矩形里，注意结合图形讲解，并指出描点

画图时，就不能取围以外的点．

2．对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．

设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把

x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y

轴、x轴或原点对称的”呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程

不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对

称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类

似可以证明其他两个命题．

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于

x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有

另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它

一定关于y轴对称．

事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．

3．顶点

只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．4．离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．

先分析椭圆的离心率e的取值围：

∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：

(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；

(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．

(三)应用

例1、求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．

(四)课时小结

解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：