椭圆的几何性质公开课教案

2.1.2椭圆的简单几何性质（一）

教学目标： 椭圆的范围、对称性、对称中心、离心率及顶点（截距）. 重点难点分析

教学重点：椭圆的简单几何性质. 教学难点：椭圆的简单几何性质. 教学设计：

【复习引入】

1. 椭圆的定义是什么？

2. 椭圆的标准方程是什么？ 【讲授新课】

利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．以焦点在x 轴上椭圆为例 12

22

2=+

b

y a

x (a ＞b ＞0)．

1．范围

椭圆上点的坐标(x , y )都适合不等式

,

12

2≤a

x ,12

2≤b

y 即

x 2

≤a 2

，y 2

≤b 2

，∴|x|≤a ，|y|≤b ．

椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．

2．顶点

只须令x ＝0，得y ＝±b ，点B 1(0,－b )、B 2(0, b )是椭圆和y 轴的两个交点；令y ＝0， 得x ＝±a ，点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)是椭圆和x 轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、 A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴. 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .a 叫做椭圆的 长半轴长．b 叫做椭圆的短半轴长． |B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．

在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2， 即c 2

＝a 2

－b 2

． 小 结 ：

由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较

正确的图形.

3．对称性

在椭圆的标准方程里，把x 换成－x ，或把y 换成－y ，或把x 、y 同时换成－x 、－y 时， 方程有变化吗？这说明什么？椭圆关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 4．离心率

椭圆的焦距与长轴长的比a

c e =

，叫做椭圆的离心率．∵a ＞c ＞0，∴0＜e ＜1．

越小，因此椭圆越扁；

，从而越接近时，越接近当2

2

1)1(c a b a c e -=

因此椭圆越接近于圆；

，

越接近，从而越接近时，越接近当a b c e 00)2(

. 0)3(2

2

2

a y

x c b a =+==为圆，方程成为，两焦点重合，图形变

时，当且仅当

练习 教科书P .41练习第5题．

例1 求椭圆16x 2＋25y 2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用 描点法画出它的图形． 解：把已知方程化成标准方程

,14

5

2

22

2=+

y x 这里a ＝5，b ＝4，所以.31625=-=

c

椭圆的长轴和短轴的长分别是2a ＝10和2b ＝8，a

c e =

离心率.焦点为F 1(－3, 0)、F 2(3, 0)，

顶点是A 1(−5,0)、A 2(5,0)，B 1(0,−4)、B 2(0,4)．把已知方程化成标准方程

,14

5

2

22

2=+

y x

:),(50y x x 坐标的范围内算出几个点的在≤≤

先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性质画出整个椭圆． 椭圆的简单作法:

(1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；

(2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；

(3) 用曲线将四个顶点连成一个椭圆.

变式训练：求椭圆4x 2 + y 2

=1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标. 例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)过点P(5,0),Q(0,4); (2)焦点在y 轴上，长轴长是6，离心率是2

3

(3)在x 轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

变式训练：求与椭圆4x 2 +9y 2 =36共焦点，且过点(３,-２)的椭圆的标准方程。

【课后作业】 1已知椭圆x 2 + (m+3)y 2

=m(m>0)的离心率为 求m 的值及椭圆长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.

2长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(-2,-4),求椭圆的标准方程。

2