平面弯曲杆件(一)(魏德敏)共32页

45 yC
Iy
I (1) y
I
(2) y
zC
1 1503 30 1 150303
12
12
45 A2
zC2 8.78106
I zC
I (1) zC
I (2) zC
I (1) zC 1
b
2 1
A1
I (2) zC 2
b
2 2
A
2
1 150 303 452 150 30 12
30 y
1 1503 30 452 150 30 12
2
时
,
yc
4R
3
dA y
x θ
R
R
1、静矩和形心
❖ 组合图形的形心 设Ai , xi yi为简单图形的面积 和形心坐标，则
xc
Ai xi Ai
,
yc
Ai yi Ai
面积划分为分割法和负面积法。
y 10 A1
A1 y 10
60
A2 60
10 x
A2
10 x
示例，图示L型图形
分割法
40
40
负面积法
27 106
二、弯曲概念
❖ 平面弯曲
弯曲 ⒈受力特点:作用于杆件上的 外力垂直于杆件的轴线 ⒉变形特点:使原为直线的轴 线变为曲线 平面弯曲： 1、截面具有一个对称轴 2、荷载作用在对称面内
弯曲后梁轴线仍在对称面 内。
F
矩形
T型
对称面
花篮型
y
❖ 工程应用
吊车
火车轴 车刀
❖ 单跨静定梁 支座反力和位移条件
a
a
❖ M1=-Pa ❖ ΣY=0,-Q1-P=0 ❖ Q1=-P
P
M1 Q1
❖ 2)截面2-2
❖ ΣY=0 ,-Q2-P=0 ❖ Q2=-P
P
Pa
M2
❖ Σ m2=0,M2+P×a-Pa=0
Q2
❖ M2=0
q=2kN/m
1
32
P=4kN
示例2：外伸梁如右图，求j截 面1-1、截面2-2和截面3-3的 剪力和弯矩。
❖ 思路
弯曲内力
A
A B
A
B 简支梁 yA=0,yB=0
外伸梁 yA=0,yB=0
B 悬臂梁 yA=0,θA=0
弯曲应力
弯曲变形
弯曲强度
弯曲刚度
截面的几 何特性
三、剪力和弯矩
a
P
A
B
RA
RA
1-1 RB
Q称为剪力，M称为弯矩。 剪力符号：使脱离体有顺时针方向 的趋势为正。
弯矩符号：使脱离体的弯曲变形凹 向上为正
A
A
例如，矩形截面
h
Ix
2
h
y2bdy112bh3,Iy
1 hb3 12
2
Ix1
h
0
y2bdy 1bh3 3
❖ 极惯性矩
Ip 2dA (x2 y2)dA
A
A
Ip Iy Ix
y x ρ
O y
h
dA
y x dy y x
x1 b
2、惯性矩、惯性积
例如，矩形截面的极惯性矩
IpIyIx112bh(b2h2)
xc
10 605 3010 25 10 60 3010
11.67
10 6030 30105 yc 10603010 21.67
xc
406020305025 40603050
11.67
406030305035 yc 40603050 21.67
2、惯性矩、惯性积
❖ 惯性矩
Ix y2dA,Iy x2dA
64
b
3、平行移轴公式
坐标转换
xxCa,yyCb
惯性矩
y
yC
x
a
C b
y
xC
O
x
I y x 2 d A ( xC a ) 2 d A
A
A
(
x
2 C
a2
2 a xC )d A
A
I xc a 2 A 2aS xC
由于 S xC 0
I y I yc a 2 A I x I xc b 2 A
用内力截面法求梁的剪力和弯矩。
一般情况下，须先计算梁的支座反力， 在从待求内力截面出切开，取脱离体， 利用平衡关系求解内力。
P MM
Q
Q
RB
+
-
左上右下
左下右上
+ 左顺右逆
左逆右顺
ΣY=0,-Q+RA=0 Q=RA Σm1=0,M-RAa=0 M=RAa
示例：简支梁。求截面1-1的剪力和弯矩。 1)支反力 ΣmA=0,RB×6-20 ×2-40 ×4=0 RB=33.3kN ΣY=0,RA+RB-20-40=0 RA=26.7kN 2)截面内力
一、截面的几何特性 1、静矩和y形心
❖ 静矩
Sx ydA,Sy xdA
A
A
❖ 形心
xdA
ydA
x c
A
A
，y c
A
A
例如，扇形的形心计算如下
x
xc
C
O
yc
θ
A R d d R 2 0
A yc
R 0
2 cos d d 2 R 3 sin
3
2 R sin y c 3
M1
Q1
M2 Q2
P=4kN
Q3
P=4kN
M3 RB=8kN
❖ 截面3-3： ❖ ΣY=0 → ❖ Q3=-8+4=-4kN ❖ Σm3=0 → ❖ M3=-4×4=-16kNm
剪力:所求截面一侧所有力的 代数和
弯矩:所求截面一侧所有力 对所求截面形心力矩的代数 和
四、剪力图、弯矩图
❖ 剪力方程、弯矩方程 Q=Q(x)、M=M(x)
又如，圆形截面的惯性矩
2Ix
2Iy
Ip
32
d
பைடு நூலகம்
4
Ix
Iy
64
d
4
❖ 惯性积
I xy xydA A
若截面有一对称轴，则该截面对 于该对称轴和另一与之垂直轴的 惯性积为零
(-x,y)
(x,y)
❖ 组合截面
n
n
Ix Ixi,Iy Iyi
i1
i1
y
h d
例如，图示截面
x
Ix
1 bh2 12
d4
13
4m
4m
2 4m
1、求支反力
2、求内力
截面1-1： ΣY=0 →
q=2kN/m
P=4kN
Q1=4-2×4=-4kN Σm1=0 → M1=4×4-2×4×2=0 截面2-2： ΣY=0 →
Q2=4kN Σm2=0 → M2=-4×4=-16kNm
RA=4kN
RB=8kN
q=2kN/m RA=4kN
ΣY=0,-Q+26.7-20=0
Q1=6.7kN Σm1=0,M-26.7×3 +20 × 1=0 M1=60kNm
1m 20kN
40kN
2m 2m 2m
RA
RB
20kN
M
26.7kN Q
P
❖ 示例：悬臂梁。求截面1-1、2-2的剪
B 12
力和弯矩。 ❖ 1)截面1-1
A
1
Pa 2
C
❖ Σm1=0,M1+P×a=0
❖ 剪力图：正号剪力画在上侧 ❖ 弯矩图：正号弯矩画在下侧
注意：弯矩图画在凸侧、受拉侧，该 侧配纵向受力钢筋。
示例1：悬臂梁受集中力
剪力方程：
h x
x1 b
例如矩形截面
Ix Ix c b 2 A 1 1 2 b h 3 (h 2 )2 b h 1 3 b h 3
1、求形心位置
3、平行移轴公式
示例：T型截面。求形心轴惯性矩 yC15013 50 0 1350 115500 330010560
150
zC0
30 150
A1
z zC1
2、求惯性矩