利用定积分求简单几何体的体积
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北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
利用定积分求简单几何 体的体积
1
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积 的方法是什么？(2)、定积分的几何意义 是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析
问题：函数 y f x，x=a,x=b围成的平面图形
x绕 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V
V
b
[f
( x)]2 dx
y
y f (x)
a
。
oa
bx
2
例题研究
利用定积分求曲边旋转体的体积
例1、求由曲线 y 2 4x, x 1所围成的图形绕
x 轴旋转所得旋转体的体积。
V＝
1
4 xdx 2
0
y
y2 4x
o x=1 x
3
变式练习1、求曲线 y ex ，直线 x 0，x 1
解：将其轴截面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则
A(12,0)，B(4,4)
，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：
y2 2 px ，
5
代入 B(4,4) 求得：p 2 ∴抛物线方程为：
y2 4x （ y 0） 设直线AB的方程为：
x qy 12 ，代入B(4,4) 求得：q 2
∴直线AB的方程为：y
1 2
x
6
∴所求“冰激凌”的体积为：
4 0
(2
x )2 dx
12
(
4
1 2
x
6) 2 dx
224
3
(cm)3
推广：y f (x)与y m, y n及y轴围成的平面图形绕
y轴旋转所得几何体积v= n( y)2 dy(其中x ( y)) m
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对
定积分概念的进一步理解过程，总结求旋
转体体积公式步骤如下：1．先求出 y f x
的表达式；2．代入公式 V
b
f
2
x dx
，即可求旋转体体积的值。
a
（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习
题4-3中6、7
五、教后反思：
9
10
取3.14）
x2 (1)
ห้องสมุดไป่ตู้
y2
1
49 98
Ｃ’ Ａ’
(2)V 8 x2dy 8 ( 1 y2 49)dy
12
12 2
Ｂ’
Ｃ Ａ
7Ｂ
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积
由曲线 y f (x)，直线
x a, x b及 x
x 轴所围成的曲边梯形绕
轴旋转而成的旋转体体积为
6
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分 绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是 双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点， B,B’ 是下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程．
(2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，
x 与 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋2
转体的体积。
答案：
2
(e
1)
例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是
一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴
旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其
体积。
4
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。
将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。 则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线 方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB绕X轴旋转一周形成的。
V b[ f (x)]2d.x其侧面积为 a
求S侧体积2的ab过f (程x)就1是[对f '(定x)]积2 dx分概念的进一步理解
过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：
1．先求出 y f x 的表达式；2．代入公式8
V
b
a
f
2
xdx，即可求旋转体体积的值。
利用定积分求简单几何 体的体积
1
（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积 的方法是什么？(2)、定积分的几何意义 是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析
问题：函数 y f x，x=a,x=b围成的平面图形
x绕 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V
V
b
[f
( x)]2 dx
y
y f (x)
a
。
oa
bx
2
例题研究
利用定积分求曲边旋转体的体积
例1、求由曲线 y 2 4x, x 1所围成的图形绕
x 轴旋转所得旋转体的体积。
V＝
1
4 xdx 2
0
y
y2 4x
o x=1 x
3
变式练习1、求曲线 y ex ，直线 x 0，x 1
解：将其轴截面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则
A(12,0)，B(4,4)
，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：
y2 2 px ，
5
代入 B(4,4) 求得：p 2 ∴抛物线方程为：
y2 4x （ y 0） 设直线AB的方程为：
x qy 12 ，代入B(4,4) 求得：q 2
∴直线AB的方程为：y
1 2
x
6
∴所求“冰激凌”的体积为：
4 0
(2
x )2 dx
12
(
4
1 2
x
6) 2 dx
224
3
(cm)3
推广：y f (x)与y m, y n及y轴围成的平面图形绕
y轴旋转所得几何体积v= n( y)2 dy(其中x ( y)) m
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对
定积分概念的进一步理解过程，总结求旋
转体体积公式步骤如下：1．先求出 y f x
的表达式；2．代入公式 V
b
f
2
x dx
，即可求旋转体体积的值。
a
（四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习
题4-3中6、7
五、教后反思：
9
10
取3.14）
x2 (1)
ห้องสมุดไป่ตู้
y2
1
49 98
Ｃ’ Ａ’
(2)V 8 x2dy 8 ( 1 y2 49)dy
12
12 2
Ｂ’
Ｃ Ａ
7Ｂ
归纳总结：求旋转体的体积和侧面积
由曲线 y f (x)，直线
x a, x b及 x
x 轴所围成的曲边梯形绕
轴旋转而成的旋转体体积为
6
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分 绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是 双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点， B,B’ 是下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程．
(2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，
x 与 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋2
转体的体积。
答案：
2
(e
1)
例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是
一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴
旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其
体积。
4
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。
将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。 则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线 方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB绕X轴旋转一周形成的。
V b[ f (x)]2d.x其侧面积为 a
求S侧体积2的ab过f (程x)就1是[对f '(定x)]积2 dx分概念的进一步理解
过程，总结求旋转体体积公式步骤如下：
1．先求出 y f x 的表达式；2．代入公式8
V
b
a
f
2
xdx，即可求旋转体体积的值。