高中数学 苏教版必修一 函数的单调性(二)

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所以，函数 y＝x－2 1在区间[2,6]上是减函数．因此，函数 y＝x－2 1
本 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即 x＝2 时函
课 时 栏
数的值最大，最大值是 2，当 x＝6 时，函数的最小值是25.
目
开
关
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本 课
f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意
时 栏
二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函
3．函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的___最__高___点____和
___最__低__点_____．
4．函数单调性与最值的关系：已知函数 y＝f(x)的定义域是[a，b]，
本
a<c<b.当 x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当 x∈[c，b]时，f(x)
课 时
是单调减函数．则 f(x)在 x＝c 时取得___最__大__值_____．反之，当
栏 目
和(0，＋∞)上都单调递减，当 k<0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)
开 关
上都单调递增．
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跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝x－2 1，x∈[2,6]，求函数的最大值 和最小值．
解 设 x1，x2 是区间[2,6]上的任意两个实数，且 x1<x2，
解 (1)因为 y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且当 x＝1 时 y＝－1，
本 所以函数取得最小值－1，即 ymin＝－1.
课 时
(2)因为对于任意实数 x∈[1,3]，都有1x≥13，且当 x＝3 时1x＝13，所
栏 目 开
以函数取得最小值13，即 ymin＝13.
关
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开
关 最高点的纵坐标为 2.
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2．下列关于函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上的最值情况为_有__最__大__值___1_，_ __无__最__小__值______．
本
解析 函数 f(x)＝1x是反比例函数，当 x∈(0，＋∞)时，函数图
课 象下降，
栏 x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当 x∈[c，b]时，f(x)是单调增
目 开
函数，则 f(x)在 x＝c 时取得__最__小__值______．
关
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探究点一 函数的最大(小)值的概念 问题 1 如图，气温 θ 关于时间 t 的函数记为 θ＝f(t)，观察这个
课
时 栏 目
2．最小值的概念：如果存在 x0∈A，使得对任意的 x∈A，都有
____f(_x_)_≥__f_(x_0_)__ ， 那 么 称 f(x0) 为 y ＝ f(x) 的 最 小 值 ， 记 为
开 关
___y_m_i_n＝___f(_x_0_) ___．
填一填·知识要点、记下疑难点
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时 时，函数的最大值或最小值是什么．
栏
目
开
关
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跟踪训练 1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期 望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时 候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到 1 m)?
开 关
f(x0)．
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例 1 下图是函数 y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最 小值及单调区间．
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本 课 时 栏 目 开
关 解 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,4)，最低的点是 (－1.5，－2)，所以当 x＝3 时，函数 y＝f(x)取得最大值，即 ymax＝4；
____2____． 解析 ∵f(x)＝x＋x 2＝x＋x＋2－2 2＝1－x＋2 2，
本 课
∴函数 f(x)在[2,4]上是增函数，
时 栏 目
∴ymin＝f(2)＝2＋2 2＝12，ymax＝f(4)＝4＋4 2＝23.
开
关
Байду номын сангаас
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1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，
本 解 作出函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18 的图象(如图)．显然，
课
时 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是
栏
目 烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．
开 关
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由二次函数的知识，对于函数 h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，有：
答 一般地，设 y＝f(x)的定义域为 A.如果存在 x0∈A，使得对
本 于任意的 x∈A，都有 f(x)≤f(x0)，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大
课 时
值，记为 ymax＝f(x0)．如果存在 x0∈A，使得对任意的 x∈A，
栏 目
都有 f(x)≥f(x0)，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值，记为 ymin＝
递减，则 f(x)max＝f(a)，f(x)min＝f(b)．
栏
目
开
关
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问题 2 已知函数 y＝f(x)的定义域是[a，b]，a<c<b.如果函数 f(x) 在区间[a，c]、[c，b]上单调性相反，函数的最值在何处取得？
答 当 x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当 x∈[c，b]时，f(x)
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小结 要熟记常见函数的单调性：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)，当
k>0 时单调递增，当 k<0 时单调递减；二次函数 y＝ax2＋bx＋
c(a≠0)，当 a>0 时，在(－∞，－2ba]上单调递减，在[－2ba，＋∞)
本 课 时
上单调递增，a<0 时相反；y＝kx(k≠0)，当 k>0 时，在(－∞，0)
时
栏 所以[1，＋∞)上 f(x)为减函数，f(1)为 f(x)在[1，＋∞)上的最大
目 开
值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．
关
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3．已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若 f(x)有最小值－2，则
f(x)的最大值为____1____．
解析 f(x)＝－(x－2)2＋a＋4，
本 ∴f(x)在[0,1]上单调递增．
课 时
∴f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
栏 目
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
开
关
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2
4．函数 1
f(x)＝x＋x 2在区间[2,4]上的最大值为_____3___，最小值为
课 时
∴f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
栏 目
要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a，
开 关
即 2a＋3≥a，解得 a≥－3，即－3≤a<－1.
②当 a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
要使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a，即 2－a2≥a，
开 关
因此，对于任意 x∈[a，b]都有 f(x)≤f(c)，
即 f(x)在 x＝c 时取得最大值．
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小结 要证明函数在给定的闭区间上最大值是 M(最小值是 N)，就 是要证明在给定的区间内任意一点的函数值都小于或等于 M(大于 或等于 N)．
本 课 时 栏 目 开 关
时，f(x)是单调增函数；当 x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数．试
证明 f(x)在 x＝c 时取得最大值．
证明 因为当 x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数，
本 所以对于任意 x∈[a，c]，都有 f(x)≤f(c)．
课 时
又因为当 x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数，
栏 目
所以对于任意 x∈[c，b]，都有 f(x)≤f(c)．
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跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝x2－2ax＋2，当 x∈[－1，＋∞)时，
f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围．
解 ∵f(x)＝(x－a)2＋2－a2，
∴此二次函数图象的对称轴为 x＝a.
本 ①当 a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
是单调减函数．则 f(x)在 x＝c 时取得最大值．反之，当 x∈[a，
本 课
c]时，f(x)是单调减函数；当 x∈[c，b]时，f(x)是单调增函数，
时 栏
则 f(x)在 x＝c 时取得最小值．
目
开
关
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例 3 已知函数 y＝f(x)的定义域为[a，b]，a<c<b，当 x∈[a，c]
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当 x＝－1.5 时，函数 y＝f(x)取得最小值，即 ymin＝－2.函数的单 调增区间为[－1.5,3]，[5,6]；单调减区间为[－4，－1.5]，[3,5]， [6,7]．
小结 求函数的最大值或最小值时，一般都要说明函数值为
本 课
最大值或最小值时对应的自变量的值．即说明当 x 取什么值
解得－2≤a≤1，即－1≤a≤1.
综上所述，实数 a 的取值范围为[－3,1].
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1．函数 f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，
则此函数的最小值、最大值分别是_－__1_、__2__．
本 课 时 栏
目 解析 观察函数图象知，图象最低点的纵坐标为 f(－2)＝－1，
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2.2.1 函数的单调性(二)
【学习要求】
1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；
本 2．理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数，体会求
课
时
函数最值是函数单调性的应用之一．
栏 目
【学法指导】
开 关
通过实例，体会函数的最大(小)值，实际上是函数图象的最高(低)
点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，
当
t
＝
－
14.7 2×－4.9
＝
1.5
时，函数有最大值
h＝
本 课
4×－44×.9－×41.89－ 14.72≈29.
时 栏
于是，烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的
目 开
高度约为 29 m.
关
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例 2 求出下列函数的最小值： (1)y＝x2－2x；(2)y＝1x，x∈[1,3]．
函数的图象，说出函数的最大、最小值在函数图象的什么部
本
课 位取得？函数的最大、最小值各是什么 ?
时 栏 目 开 关
答 曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为 9； 曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为－2.
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问题 2 根据问题 1 的讨论，你能给函数的最大值及最小值下个定 义吗？
有利于培养以形识数的解题意识.
填一填·知识要点、记下疑难点
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1．最大值的概念：一般地，设 y＝f(x)的定义域为 A.如果存在 x0∈A，
使得对于任意的 x∈A，都有__f_(_x_)≤___f(_x_0_)_，那么称 f(x0)为 y＝f(x)
本
的最大值，记为__y_m_a_x＝__f_(_x_0_) _．
本 课 时
如函数 y＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
栏 目
(2)若函数 f(x)在闭区间[a，b]上单调，则 f(x)的最值必在区
开 关
间端点处取得．即最大值是 f(a)或 f(b)，最小值是 f(b)或 f(a)．
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2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 y＝
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探究点二 函数最值与单调性的关系
问题 1 已知函数 y＝f(x)在定义域[a，b]上单调，如何求函数的最
值？
答 如果函数 y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递增，则 f(x)max
本 ＝f(b)，f(x)min＝f(a)；如果函数 y＝f(x)在定义域[a，b]上单调
课 时
本 课 时 栏 目 开
则
f(x1)
－
f(x2)
＝
2 x1－1
－
2 x2－1
＝
2[x2－1－x1－1] x1－1x2－1
＝
x12－x12－xx2－1 1.
关 由 2≤x1<x2≤6，得 x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是 f(x1)
－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．