第一章线性系统的状态空间描述

⎪⎩ yˆm (s) = gm1(s)uˆ1(s) + gm2 (s)uˆ2 (s) + ⋅⋅⋅ + gmr (s)uˆr (s)
向量形式：
⎡ yˆ1(s) ⎤ ⎡ g11(s) L g1r (s) ⎤⎡uˆ1(s)⎤
yˆ (s)
=
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
M
M
⎥⎢ ⎥⎢
M
⎥ ⎥
=
G
( s)uˆ ( s)
输出变量组{ y1, y2, …, ym }，取拉氏变换可得
⎧ yˆ1(s) = g11(s)uˆ1(s) + g12 (s)uˆ2 (s) + ⋅⋅⋅ + g1r (s)uˆr (s)
⎪⎪ ⎨ ⎪
yˆ2 (s)
=
g 21 ( s )uˆ1 ( s)
+
g22 (s)uˆ2 (s) ⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅+
g2r (s)uˆr (s)
0
]⎢⎣⎡
x1 x2
(t ) ⎤ (t ) ⎥⎦
一般定义
状态方程：状态变量与输入变量之间的关系
dx1(t) dt = x1(t) = f1[x1(t), x2 (t),", xn (t);u1(t),u2 (t),", ur (t);t] dx2 (t) dt = x2 (t) = f2[x1(t), x2 (t),", xn (t);u1(t),u2 (t),", ur (t);t]
C(t)
=
⎢ ⎢
c21
(t
)
⎢#
c22 (t) #
" #
c2n (t) #
⎥ ⎥⎥,
D(t
)
=
⎢ ⎢ ⎢
d 21 (t ) #
d22 (t) #
" #
d
2r
(t
)
⎥ ⎥
#⎥
⎢⎣cm1(t) cm2 (t) " cmn (t)⎥⎦
⎢⎣dm1(t) dm2 (t) " dmr (t)⎥⎦
4) 线性定常系统
状态空间
状态空间：以状态变量为坐标轴构成的 n 维空间。
状态轨迹：状态变量随时间推移而变化，在状态空间中形成的一
条轨迹。
3. 状态空间表达式 设系统 r 个输入变量： u1(t),u2 (t),",ur (t) m 个输出： y1(t), y2 (t),", ym (t) n 个状态变量： x1(t), x2 (t),", xn (t)
H (Qau )= QaH u Qa称位移算子，对所有的t有
Qa u=u(t-a)
2. 系统的传递函数描述法
（1）单输入-单输出系统的传函 常系数微分方程描述的线性定常系统为
y(n)(t)+an-1 y(n-1)(t)+···+ a1 y(1)(t)+ a0 y(t) =bm u(m)(t)+bm-1 u(m-1)(t)+···+ b1 u(1)(t)+ b0 u(t) 零。
⇔ ⎩⎨⎧CLxx12((tt))+=Rxx11(t(t)) + x2 (t) = u(t)
⇔
⎡ ⎢⎣
x1 (t ) ⎤ x2 (t)⎥⎦
=
⎡− R / L ⎢⎣ 1/ C
−
1/ 0
L⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
(t ) ⎤ (t)⎥⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣0⎥⎦u
(t
)
输出方程
y(t) = uc (t) = [1
⎢⎣ yˆm (s)⎥⎦ ⎢⎣gm1(s) L gmr (s)⎥⎦⎢⎣uˆr (s)⎥⎦
G(s)为系统的传递函数矩阵，当且仅当
lim G(s) = 零阵 m〈n
s→∞
或
lim G(s) = 非零常数矩阵 m = n
s→∞
G(s)为严格真的或真的有理分式矩阵。
当且仅当 G(s)为真的或严格真的时，在物理上才可实现。
"
dxn (t) dt = xn (t) = fn [x1(t), x2 (t),", xn (t);u1(t),u2 (t),",ur (t);t]
用向量表示，得到一阶的向量微分方程
x(t) = f [x(t), u(t), t]
其中
x(t
)
:=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
x1 x2
(t ) ⎤ (t)⎥⎥
m<n，初始值全为
(sn +an-1sn-1+···+ a1s+a0) Y(s) = (bmsm+bm-1sm-1+···+ b1s+b0) U(s)
G(s)
=
Y (s) U (s)
=
bmsm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0 sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0
如果 m≤n，则 G(s)为真有理式，此时称系统为物理能实现的。
sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 = 0 特征方程；零极点。
零极点相消后剩下的零极点如都在复平面的左半开平面内，
系统是最小相位的。
（2）系统的传递函数矩阵
多输入-多输出的线性定常系统，输入变量组{ u1, u2, …, ur }，
2) 非线性定常系统
⎧x(t) = f [x(t),u(t)]
⎨ ⎩
y(t
)
=
g[x(t
),
u(t)]
3) 线性时变系统
⎧ ⎪ ⎨
x 1
= #
a11 (t ) x1
+"+
a1n
(t ) xn
+
b11 (t )u1
+"+
b1r
(t )u r
⎪⎩xn = an1(t)x1 +" + ann (t)xn + bn1(t)u1 +" + bnr (t)ur
写成向量形式即为
⎧x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
⎨ ⎩
y(t)
=
C (t ) x(t )
+
D(t)u(t)
其中：
A(t)
=
⎢⎢⎡aa1211((tt)) ⎢#
a12 (t)
a22 (t) #
" " #
aa12nn#((tt))⎥⎥⎥⎤,
B(t
)
=
⎢⎢⎡bb1211
(t) (t)
第一章 线性系统的状态空间描述
1. 内容 系统的状态空间描述 化输入－输出描述为状态空间描述 由状态空间描述导出传递函数矩阵 线性系统的坐标转换 组合系统的状态空间方程与传递函数矩阵
传递函数描述的局限性
输入－输出描述不能揭示系统的内部行为。如图所给出的系统，
系统的传递函数为：
g(s)
前的输入，而与 t 之后的输入无关，称系统具有因果性。
（3） 线性：一个松弛系统当且仅当对于任何输入u1和u2及任 何实数a1和 a2，有
H ( a1u1 + c 2 u 2 ) = a1 H (u1 ) + a 2 H (u 2 ) （4） 时不变形（定常性）：：一个松弛系统当且仅当对于任何
输入 u 和任何实数 a 有
=
s s
−1 +1
1 s −1
=
1 s +1
u
1
x
s −1 y
s −1
s +1
从输入－输出角度来看，系统是稳定的。当初始条件不为零时，
系统内部变量 x 的运动过程为：
∫ x(t) = x0et +
t 0
et−τ u(τ )dτ
在系统内部变量 x 的运动过程中具有 et 增长项，经过一段时间后，
这个系统将达到饱和或失效。
例：图示 RLC 电路，建立状态空间描述。
R
u
L
iL
C uc
电容 C 和电感 L 两个独立储能元件，有两个状态变量，如图中所注， 方程为
L
diL (t) dt
+
RiL
(t
)
+
uc
(t)
=
u(t
)
C
duc (t) dt
=
iL (t)
x1(t) = iL (t), x2 (t) = uc (t)
状态方程
y = βn−1xn + " + β1x2 + β0x1
写成向量形式
x = Ax + Bu
⎡ x1 ⎤
⎡0
1
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
0
0
0 " 0 ⎤ ⎡0⎤
1
"
0
⎥ ⎥
⎢⎢0⎥⎥
x
=
⎢ # ⎥,
⎢ ⎢
xn
−1
⎥ ⎥
Ac
=
⎢ ⎢ ⎢
# 0
# 0
# 0
% "
# 1
⎥, ⎥
bc
⎥
=
⎢#⎥ ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣ xn ⎥⎦
第一章 线性系统的描述方法
系统：由一些具有特定功能的组件，为了完成预定的目标，相互 联接在一起而成的系统。
1. 基本概念
系统输入向量u=[u1, …, up]T，外部环境对系统的作用； 系统输出向量y=[y1, …, yq]T，系统对外部环境的作用； 两者为系统的外部变量。 向量x=[x1, …, xn]T为内部变量，描述系统内部所处行为状态的变 量。 线性系统时域理论中的数学描述分为两类： （1） 系统的外部描述：输入-输出描述。若系统为 SISO 线性
定常系统，数学方程为一个 n 阶微分方程及对应的传函。 特点：不同内部结构的系统可能有相同的外部特性，通 常是一种不完全描述。 （2） 系统的内部描述：状态空间描述。系统由动力学部件和 输出部件组成。特点：完全表示系统的一切动态特性， 是一种完全描述。 概念 （1） 松弛性：系统在时刻t0当且仅当输出y[t0，∞)由输入u[t0， ∞)唯一确定(在时刻t0不存储能量)，称系统在时刻t0是松 弛的。 （2） 因果性：若系统在时刻 t 的输出仅取决于时刻 t 及在 t 之
"
ym (t) = gm [x1(t), x2 (t),", xn (t);u1(t),u2 (t),",ur (t);t]
用向量表示为
y(t) = g[x(t),u(t),t]
4 系统分类：
1) 非线性时变系统
⎧x(t) = f [x(t),u(t),t]
⎨ ⎩
y(t)
=
g[x(t),
u (t ), t ]
#⎥
∈
R
n
,
u
(t
)
:=
⎡ u1 (t ) ⎤
⎢⎢u2 (t ⎢#
)⎥⎥ ⎥
∈
R
r
,
f (•) :=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
f1 f2
(•) ⎤ (•)⎥⎥
#⎥
∈
R
n
⎢ ⎣
xn
(t
)⎥⎦
⎢⎣ur
(t
)
⎥ ⎦
⎢ ⎣
f
n
(•)⎥⎦
输出方程：系统输出变量与状态变量、输入变量之间的关系，即
y1(t) = [g1 x1(t), x2 (t),", xn (t);u1(t),u2 (t),",ur (t);t] y2 (t) = g2[x1(t), x2 (t),", xn (t);u1(t),u2 (t),",ur (t);t]
Δ
N D
பைடு நூலகம்
s s
当选取不同的状态变量时，可以得到不同的状态空间形式。
1）能控规范性（P11）
u(s)
1
z(s)
sn
+
α s n−1 n −1
+ "α1s
+
α0
y(s) β1s n−1 + " + β1s + β 0
⎧ ⎨ ⎩
z
(
n)
+
α z(n−1) n −1
+"
+
α1z
+
α0
y
=
β z(n−1) n −1
+"
+
β1z
+
β
z= 0z
u
选状态变量 x1 = z, x2 = z(1) ,", xn−1 = z(n−2) , xn = z(n−1)
⎧
⎪
⇒
⎪⎪ ⎨
x1 = x2 x2 = x3
"
⎪ ⎪
xn
−1
=
xn
⎪⎩ xn = z(n) = −an x1 − an−1x2 − " − a1xn + u
y(n)
+
an−1 y(n−1)
+
an−2
y(n−2)
+"
+
a1
•
y+
a0
y＝βn−1u(n−1)
+
βn−2u(n−2)
+"
+
β1
•
u+
β0u
( ) (( )) G s
=
β sn−1 n−1
+
β sn−2 n−2
+"
+
β1s
+
β0
sn + an−1sn−1 + an−2sn−2 +" + a1s + a0
2. 基本概念 系统的状态和状态变量
状态：完全描述系统时域行为的一个最小变量组。
状态变量：构成系统状态的变量。
状态向量
设系统状态变量为 x1(t ), x2 (t )," , xn (t ) 写成向量形式称为状态 向量，记为
x(t)
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢
x1 x2
(t ) ⎤ (t)⎥⎥
#⎥
⎢⎥ ⎣xn (t)⎦
对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系 统的状态空间表达式，步骤如下：
1) 确定系统输入、输出和状态变量； 2) 列出方程； 3) 消去中间变量； 4) 整理成标准的状态和输出方程。
7 化输入-输出描述为状态空间描述
设单输入－单数出线性定常连续系统的微分方程有下列一般形式
⎢#
b12 (t)
b22 (t) #
" " #
b1r b2r
(t ) ⎤ (t)⎥⎥
#⎥
⎢ ⎣an1 (t )
an2 (t)
"
⎥ ann (t)⎦
⎢ ⎣bn1 (t )
bn2 (t)
"
⎥ bnr (t)⎦
⎡ c11(t) c12 (t) " c1n (t) ⎤
⎡ d11(t) d12 (t) " d1r (t) ⎤
⎧x(t) = Ax(t) + Bu(t)
⎨ ⎩
y(t)
=
Cx(t)
+
Du(t)
5 状态空间表达式的系统结构图
状态和输出方程可以用结构图表示，形象地表明系统中信号传递关 系。对线性系统，结构图如下：
D(t)
x(t)
x(t)
B(t) u(t)
∫
C(t)
y(t)
A(t)
线性时变系统结构图
6 根据物理机理建立状态空间表达式
⎢⎣− an − an−1 − an−2 " − a1⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
输出方程
[ ] y = β 0 x1 + β 1 x 2 + " + β n −1 x n = β 0 β 1 " β n − 2 β n −1 x = cc x