弹塑性力学讲义 第三章应变分析

ij 求 ui 不行。
ij
因为

1 (u i, j u 2
j ,i
)
ij 仅包含形变，由其求出位移时，刚体位移是无法确定的，因
此，位移 u 无法确定。
ij 分量之间必须满足一定的条件（方程） ，才能由几何方程积分求出
单值连续的位移场 ui、ij 的分量必须满足的方程称为变形协调方程或相容 方程。 变形协调方程共有六个，可由几何方程直接导出。即：
Ⅱ＝ 1 2 2 3 3 1
Ⅲ 1 2 3
当1 2 3 时（三个主应变不相等） ，三个主方向相互垂直。
第5节
变形协调条件（相容条件）
在本章第二节中我们讨论了一点的应变张量，它包含了一点的变形信 息，应变张量与位移微分关系称为几何方程（共六个） 。如果已知变形体的 位移状态 u ，则由这六个方程直接求出应变张量，但反之由六个独立的任 意
第三章
应变分析
在第二章我们研究了应力张量本身和体力、面力之间的关系式，即平衡 规律。本章将讨论变形体研究的另一个基本关系：变形与位移之间的关系。 当然要以小变形假设为基础，位移和形变相对于变形体几何尺寸是微小的。
第1节
1.1 位移
位移和（工程）应变
x3
r
P x2
u
P’
o x1
变形体任意点 P 的位移矢量 u u i ei ， u 有三个分量。
1.2 (工程)应变 工程应变是通常工程中描述物体局部几何变化，分为正应变和剪应 变。
l ， l
（角变形）＝两微元线段夹角的改变量。
（工程）正应变：11、22、33 ， （工程）剪应变：12=xy、23=yz、
31=zx
工程应变共有六个分量： 三个正应变和三个剪应变， 正应变以伸长为正， 剪应变以使直角变小为正。
2. 将直角坐标系绕 x3 轴转动角，求新坐标系应变分量的转换关系。 3． 假定体积不可压缩，位移
u1(x1,x2)与 u2(x1,x2)很小， u3=0。在
2
一定区域内已知 u1=c(1-x2
)(a+bx1+cx12) ,其中 a、b、c 为常
数，且12=0，求 u2(x1,x2)。 4． 试分析以下工程应变状态能否存在
第 4 节 主应变、应变方向应变张量的三个不变量
确定一点的主应变和应变主方向方法与求主应力和应力主方向的方法
3 2 完全一致， 求主应变的方程 Ⅰ 2、 3 （实根） ， Ⅱ Ⅲ 0 解出1、
5
Ⅰ 、Ⅱ 、 Ⅲ 分别为应变张量的三个不变量：
Ⅰ ＝ 11 22 33 1 2 3 e ——体积应变
12=0, 23= ax32+bx2, 13=ax12+bx22
其中 k、a、b 为常数。
8
用指标符号表示： 或 用张量表示：
ij ,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik 0
emij enkl ik , jl 0
0
*结论： 应变张量ij 满足变形协调方程是保证单连域的位移单值连续解存在的 必要和充分条件。对于复连域还需附加补充条件——位移单值条件。 *单连域：变形体内的任何一条封闭线当缩小时 均能变为一点，当不满足时为多连域。 a
2 33 2 11 2 31 2 2 x3 x3x1 x12
6

23 31 12 2u3 2u3 2u1 2u1 2u2 1 2u1 2u2 ( ) x1 x2 x3 x1x3 x1x2 x1x2 x2x3 x2x3 x1x3 2 x2x3

11 12 21 22 31 32
13 11 2 12 2 23 21 22 33 2 31 2 32
2 13 2 23 33
第 3 节 应变张量和转动张量的坐标变换式
2
（1）11=k(x1
+x22) x3 , 22=kx22x3 , 33=0,
12=2kx1x2x3, 23= 13=0
(2) 11=k(x12+x22) , 22=kx22 , 33=0,
12=2kx1x2, 23= 13=0
(3) 11=ax1x2
2
, 22=ax12x2 , 33= ax1x2,
2 12 2 11 2 22 2 2 x2 x1 x2 x12
2 23 2 22 2 33 2 , 2 2 x3 x2 x2 x3

11
u 2 u1 1 u u ， 22 ， 12 ( 1 2 ) x2 x1 2 x2 x1
3
x2 u2 ,2 dx2=1
u2 ,1 R’
R’’
u1,1 ， u1, 2 ， u2,1 ， u 2 , 2 相对位移
u1 ,2 x1

Q’ P’
u1、u2

dx1=1
Q’’ u1 ,1
21= (u2 ,1 +u1 ,2 )/ 2 22=u2 ,2
(+)/2

21=(u2 ,1 -u1 ,2 ) /2
1 ( u i , j u j , i ), 2
ij
显然
ij
1 (u i , j u j , i ) 2
ij= ji（对称张量） ，ij= -ji （反对称张量）
而ij 表示变形体的形变，ij 表示了刚体转动。 以在平面 x1 —x2 的两个垂直线段 PQ、PR 的相对位移来说明并 直观看一下ij，ij 二阶张量表示了形变和刚体转动。
2.2 应变张量和转动张量 相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动，为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分成对称和反对称张量之和。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
U ij u i , j
或 其中
1 1 (u i , j u j ,i ) (u i , j u j ,i ) 2 2
U ij ui , j ij ij
Q P x2
u+du u
Q’’ P’
Q’
dr
o x1
PQ 平移 P 'Q '' 伸长＋转动 P 'Q '
Q ''Q ' du dr ' dr
——相对位移矢量
ui du ei dx x j
j
u u i ei
——（ a）
2
而
dr dx j e j
dx j e j dr ——(b)
将（b）式代入（a）式，得
du u i , j ei e j dr
du U dr
根据商法则 则
U ui , j ei e j U ij ei e j 为一个二阶张量——相对位移张量

2 11 ( 23 31 12 ) x2 x3 x1 x1 x2 x3
2 22 ( 31 12 23 ) x3x1 x2 x2 x3 x1 2 33 ( 12 23 31 ) x1x2 x3 x3 x1 x2
+
12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2 12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2 11=u1 ,1
11，12= 21，22 纯变形
2.3 转动张量的对偶矢量
12= -21
纯转动

由纯刚体转动可见，12= -21，正好相当于一个沿 x3 轴方向的转动矢 量 3e3 ，方向为 e3 ，其大小 3 ：
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应变张量 kl 和转动张量kl，则 在新笛卡尔坐标系 x’i 中此点应变张量’ij 和’ij 均可以通过二阶张量的坐标 转换式求出它们。
' Q ij 即：
' ij Q
i 'k
Q
j 'l
j 'l kl
kl
i 'k
Q
Qi 'k ei' ek Qki'
1
x3 dx1 dx3 x1 P
dx2 x2
x3
P
22dx2
23
x2
x1
第2节
应变张量和转动张量
应变张量和转动张量是描述一点变形和刚体转动的两个非常重要的物 理量，本节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨论之前，先介绍一下相 对位移矢量和张量.
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
x3
dr
r
3 (12 21 ) (e12312 e213 21 )
类似可得，其它两个坐标平面，转动矢量
1 2
1 2
1e1 、 2 e2
4
1 综合三个坐标面的转动矢量 ： k ek eijk ij ek 2
为转动张量的对偶矢量。
*比较工程应变定义和应变张量，可得：
+ u- u b 对于多连域附加补充条件办法为：假想通过适当截断，
使域为单连域，在截断面 ab 两侧 u
+ i
= u -i 即为补充条件。
7
作业： 1． 给定位移分量
u1=cx1(x2+x3)2,
u2=cx2(x1+x3)2,
u3=cx3(x1+x2)2
此处 c 为一个很小的常数，求应变张量
ij 和转动张量 ij。