散度与高斯公式

其中是正六面体的外侧（如图所示）。z
解： P y( x z) , Q x2 , R y2 xz ， a
P Q R y x ， x y z
答案： a4
5 2
4 o
1
a
x
3
ay
6
4
10.5 散度与高斯公式
例
2
计算 I



2(
x 2

x2 )dy dz 8xydz dx 4x( x z)dx dy
Ò Gauss

8

,
1
3
I 40 .
3
16
1
Dxy
2y
2
x
5
10.5 散度与高斯公式
Ò 例 3．
计算 I

x3dy

dz
y3dz dx x2 y2 z2
z 3dx

dy
，

是
x2 y2 z2 a2 的内侧。
Ò 解： I
使用Guass公式时应注意: 是否满足高斯公式的条件?
1． P, Q, R 是否有一阶连续偏导数，又是分别对 什么变量求偏导数。
2．Σ 是分片光滑闭曲面，取外侧。
思考题：计算积分 I Ò y ln rdy dz x ln rdz dx zdx dy ，

其中 是椭球面
divur ( xy2 ) ( yez ) ( x ln(1 z2 ))
x
y
z

y2
ez

2 xz 1 z2
，
divu (1,1,0)

2
。
14
10.5 散度与高斯公式
例 4 设 u( x, y, z), v( x, y, z) 在 上具有一阶及二阶连续导数， r
，
其中 是锥面 z2 x2 y2 介于 z 0 和 z 2 两平面间
的部分取上侧。
不是封闭曲面，能否直接用高斯公式？
z
解：添补平面 1 : z 2, ( x 2 y2 4) ，
取下侧；
1 z 2
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 可用 Gauss 公式求解。
divE

P x

Q y

R z

q
4
[
3 r3

3( x2Biblioteka Baidu
y2 r5

z2)]

0
10.5 散度与高斯公式
例
2．求向量场
u(
x,
y, z)

xy2i
ye z
j
x ln(1
z2 )k
在点 P(1,1, 0) 处的散度 div u。
解： ur ( x, y, z) { xy2 , yez , x ln(1 z2 )} ，
为 的边界曲面， n 为 的外法线方向，证明：
v

uvdxdydz

Ò
u
n
dA


gradu

gradvdxdydz
(Green 第一公式)
其中

2 x 2

2 y2

2 z 2
称为
Laplace
算子。
证： v v cos v cos v cos ，

dz

Qdz

dx

Rdx
dy


(
x

y

z
)dv
Gauss 公式的实质：
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲
面上的第二型曲面积分之间的关系.
2
10.5 散度与高斯公式
证明 （类比:格林公式的证明思路） z
2
一．考虑简单区域的情形：
分项处理

P ?
x
dv

Ò
n x
y
z
其中 cos,cos ,cos 为 外法向的方向余弦，
乙 u
v n
dA



u
v x
dy

dz

u
v y
dz

dx

u
v z
dx

dy
15
10.5 散度与高斯公式
作
业
习 题 四 （P233）
1（1）； 2 ；3 ； 5（1）（4）（5）； 6。
11
10.5 散度与高斯公式
3、散度的性质



（1） div(aA bB) adivA bdivB ，其中 a,b 是常数。


（2）若 u( x, y, z) 的梯度存在，则 div(uA) udivA A gardu 。

证明：仅证(2). 设 A {P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)} ，
比式 r
1 V
r

Ò F(M ) dA的极限存在，则称此极限为向量场

r
F (M ) 在点 M 处的散度，记为 divF (M ) ，即
Ò r
divF(M ) lim
1
r

F(M ) dA
d 0 V
8
10.5 散度与高斯公式
2、散度的计算公式：
由高斯公式得：
Ò

Pdy

dz
Q ?
1
o
Dxy
y

y
dv

Ò Qdz
dx
x
R ?

z
dv

Ò
Rdx
dy
( )dxdy
Dxy
二．一般区域的情形：分块，利用积分可加性
3
10.5 散度与高斯公式
二、应用Gauss公式解题
例1． 计算 I y( x z)dy dz x2dz dx ( y2 xz)dx dy ，
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1 的外侧， r

x2 y2 z2 。
7
10.5 散度与高斯公式
三、散度
1、定义
r 设有连续向量场 F ( M )
(M 3R，)点 M ，
任何包围点 M 的闭曲面 Δ R3 ，设 所围的区域为 ΔΩ ，
体积为 ΔV ，直径为 d，且取外侧，如果当 d 0 时，
udivA A gardu.
10.5 散度与高斯公式
例 1．设点电荷 q 位于 坐标原点，它在真空中产生一电场，
场中任一点 M(
r

{
x,
y,
z}
，
r
x,
y, r
z) 处的电场强度
E

1
4

q r2
r
（

r

r r
，
），求场中点 M 处电场强度 E 的 散度。
的外侧单位法向量， 所围成的区域为Ω 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
0 ，流出大于流入，表明 内有“源”；
0 ，流出小于流入，表明 内有“洞”；
0 ，流出等于流入。
10
10.5 散度与高斯公式
比式 1 V
Ò vr

nvdS
表示区域
内有“源”与有“洞”


Gauss 公式建立了曲面积分与三重积分之间的联系，
其物理意义为：一区域中总散度等于通过边界的通量。
9
10.5 散度与高斯公式
下面以流量问题为背景，分析散度的物理意义：
设一稳定的不可压缩的流体速度场为v( x, y, z) ，流过
有向封闭曲面 外侧的流量 Ò vr nvdS ，其中nr 为
的平均状态，称为流速场 v 在 内的平均强源；
r divA M 则表示在点 M 处有“源”与有“洞”的状态：
divvr M 0 ，则表示该点处有“正源”；
divvr M 0 ，则表示该点处有“负源（洞）”；

r divv M
表示该点处“源”与“洞”的强度。
如果 divvr(M ) 在场内处处等于零，则称向量场vr 为无源场。

则 uA {uP , uQ, uR} ，
div(uA)

(uP )

(uQ )

( uR )
x
y
z
u P P u u Q Q u u R R u x x y y z z
u( P Q R ) ( u P u Q u R) x y z x y z
10.5 散度与高斯公式
10.5 散度与高斯公式
一、定理（Gauss Th）
设（1） 是分片光滑闭曲面， 是 围成的空间闭区域，
（2） 取外侧，
（3）函数 P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 在 上
具有一阶连续偏导数，
P Q R
Ò Pdy

x3dy dz y3dz dx z3dx dy a2
由 Gauss 公式得
1 I a2

3( x2 y2 z2 )dxdydz
1
a2
2

d d
0
0
a 3r 2r 2 sin dr
0
12 a3 .
5
6
10.5 散度与高斯公式
r F


dA



(
P x

Q y

R z
)dv
，
再由积分中值定理可以得到散度的计算公式：
Ò r
divF(M ) lim
1
r
P Q R
F(M ) dA
d 0 V
x y z
r
r
故高斯公式可以表示为： Ò F dA divFdv 。