卢卡斯人力资本模型的推导

卢卡斯人力资本模型的推导

2006.5.

卢卡斯模型

卢卡斯的模型实际上是“专业化人力资本积累增长模式”。卢卡斯模型揭示了人力资本增值越快，则部门经济产出越快；人力资本增值越大，则部门经济产出越大。卢卡斯模型的贡献在于承认人力资本积累不仅具有外部性，而且与人力资本存量成正比。卢卡斯模型的贡献在于承认人力资本积累(人力资本增值)是经济得以持续增长的决定性因素和产业发展的真正源泉。

卢卡斯假定人力资本投资的边际产出率递减并引入人力资本外部效应，即社会平均人力资本水平，同时，又假定私人人力资本投资有收益递增的效应，从而证明了人力资本增长率正比于人力资本投入产出率，正比于社会平均人力资本和私人人力资本在最终产品的边际产出率，反比于时间贴现率。

卢卡斯模型的其核心假定是：

1.人力资本的增长率是人们用于积累人力资本的时间比例的线性函数（这与纯粹的“干中学”模型有所不同），从而引入了人力资本生产部门；

2.工人的人力资本水平不仅影响自身的生产率，而且能够对整个社会的生产率产生影响（每一经济个体在进行决策时不考虑这部分影响），这是该模型能够产生递增规模收益（整个经济水平）和政府政策增长效应的基础

“边际生产力”指的是在其他条件不变前提下每增加一个单位要素投入所增加的产量，即边际物质产品（Marginal Physical Product, 有时被简称为边际产品MP）。而增加一个单位要素投入带来的产量所增加的收益，叫做边际收益产品（Marginal Revenue Product, 简写为MRP）。边际收益产品等于要素的边际物质产品和边际收益的乘积，即：MRP=MP×MR

因此，可变要素的边际收益产品MRP，取决于两个因素：⑴增加一单位要素投入带来的边际物质产品（MP）的变化；⑵增加一单位产品所增加的收益（MR）的变化。

下面我们来分析边际生产力的变化特征。

假定其他要素投入量不变，只有一种可变要素。那么，随着可变要素的不断增加，其边际生产力最初上升，超过某一点后，开始下降。

以劳动作为可变要素为例，劳动投入量和劳动的边际生产力之间的关系，可用图9-1中的边际生产力曲线表示。

图9-1 要素的边际生产力曲线

同样地，如果假定资本是可变要素，也可用图9-1来大致表示资本的边际生产力曲线，即资本的边际生产力最初上升，达到某一点后，出现下降。

就本节的目的而言，人力资本是指个体的一般技术水平。因此一个人力资本为()

h t的工

人的生产力相当于两个人力资本分别为1

()

2

h t的工人，或相当于一个人力资本为2()

h t的半

日制工人。人力资本关注如下事实：个人对当期各种活动的时间分配方式将影响其未来的生

产率，或()h t 水平。把人力资本引入模型就得解释清楚人力资本水平怎样影响当期生产，以及当期时间分配方式怎样影响人力资本积累。有很多方法可以系统地阐述“技术”的这两个方面，根据个人目标的不同，可自行选择。让我们从以下的简单假设开始。

假设共有N 名工人，他们的技术水平h 从0到无穷不等。令技术为h 的工人数量为()N h ，故0()N N h dh ∞

=⎰。设技术为h 的工人将其非闲暇时间的()u h 部分用于生产，1-()u h 用于

人力资本积累，则生产中的有效劳动力——对应于（2）式中的()N t ——为参与当期生产的以技术为权数的工时数之和0()()e N u h N h hdh ∞

=⎰。故若产出为总资本K 和有效劳动e N 的

函数(,)e F K N ，则技术为h 的工人的小时工资为(,)e N F K N h ，总收入为

(,)()e N F K N hu h 。

个体人力资本除对其自身生产率的效应外——我称之为人力资本的内部效应——还应考虑其外部效应。具体而言，令平均技术水平或者说平均人力资本由下式定义：

.22θρδθ=-00()()a hN h dh h N h dh ∞

∞

=⎰⎰ 这一平均指标对生产中所有因素的效率都会产生作用。我称a h 为效应外溢，因为虽然人人的生产率都从中受益，但个人人力资本积累的决策对a h 的影响是微不足道的，故没有人会在决定时间分配时考虑这一因素。

若沿用先前的分析方式并将经济中所有的工人视为同质，则可大大简化分析。在本例中，若所有工人的技术为h ，且分配于劳动的时间比例都为u ，则有效劳动力为e N uhN =，平均技术水平a h h =。但我在下文中仍继续使用a h 这一符号，以强调内部效应与外部效应的区别。描述商品生产技术的（2）式现在被下式所替代：

（11）.1()()()()[()()()]()r a N t c t K t AK t u t h t N t h t ββ-+=

()r a h t 反映了人力资本的外部效应，技术水平A 现在假设为不变。

为使模型完整，必须将用人力资本积累的份额1-()u t 与人力资本水平()h t 的变化率联系起来。所有内容都将围绕这一联系展开。我们从如下假设开始：人力资本的增长.()h t 与其既有水平及用于积累时间分配有关，即：

（12）.()()(1())h t h t G u t ε

=-

G 为增函数，(0)0G =。若令此式中的1ζ<，则人力资本积累的收益递减，由此很容易看出人力资本无法替代技术项()A t 作为增长的一个驱动力。未看清楚这一点，请注意由于

()0u t ≥，（12）式表明：.1()()(1)()

h t h t G h t ε-≤ 因此不管赋予人力资本积累的时间份额有多大，

.()()h t h t 最终必趋向于零。在这种情况下只是使索洛模型复杂化了， 而未提供任何真正的新东西。

在假设（12）式的右边线性（1ζ=）的情况下，宇泽（1965）提出了一个与此十分类似的模型（他同时假设0,()r U c c ==）。他的方法的显著特征，在于其仅靠内生的人力资本积累即可以保证人均收入的持续的增长，无需外部的“增长驱动”。

宇泽的线性假设看起来似乎是行不通的，因为我们在现实中观察到的人力资本的个体收益是递减的。人们在生命的早期进行快速积累的收益要小。但这一现象也有另外一种解释，即人的生命是有限的，所以随着生命的缩短，增加人力资本的回报也会随之下降。罗森（1976）证明，当1ζ=时，又（12）式所示的积累技术与我们观察到的关于个人收入的证明一致的。我把宇泽——罗森公式改变一下，为简单起见假设G 是线性的，得到：

（13）.

()()[1()]h t h t u t δ=-

根据（13）式，若不进行积累（()1u t =），则累积量为零。若全部时间用于积累（()0u t =），则h(t)达到最大增长率δ。在这两个极端之间，不存在h(t)的收益递减，h(t)每一给定百分比的增长都需要付出相同多的努力，而不管h(t)的既有水平多高。

我不得不说些题外话，因为把用于有限生命个人的由（13）式表示的人力资本积累技术应用于无限生命的代表性家庭还需要做些工作。例如，每个人以罗森模型中描述的方式获得人力资本，但这些资本完全没有传递给下一代，则家庭的人力资本存量不变（家庭人口固定）。要使（13）式适合家庭行为，不但需要假设个人积累服从此式，还需假设每一新家庭成员的初始人力资本水平为家庭中旧成员既有人力资本水平的一个比例（但与旧成员不相等）。这只是我强调的一般事实的一个例子：人力资本积累是项社会行为，他将人类群体包含进来的方式在物质资本积累中是找不到相似之处的。

除了（11）至（13）式中所描述的技术变化议政和人力资本及其积累，此模型与索洛模型是完全相同的。系统是封闭的，人口以不变的速度增长，代表性家庭具有（1）式所描述的偏好。我们继续分析这一模型。当存在外部效应()r a h t 时，最优增长路径与竞争均衡路径不再一致，因此我们无法通过研究应用于索洛模型的假设规划问题而建立均衡。但是参照罗默对一个与之十分相似的模型的分析方法，我们可分别得到最优路径和均衡路径，并对两者加以比较。

所谓最优路径，我指的是在（11）和（13）式的约束下，并且在所有t 期都满足()()a h t h t =