瞬时变化率

s(5.1) s(5) 127 .45 122 .5 49.5（m/s）。 5.1 5 0.1
用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。如果 时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速 度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。
解：我们将时间间隔每次缩短为前面的 ，计算出相应的平均速度得到下表：
，在自变量x从x0变到x1的过程当中，若
设Δx= x1－x０， y f ( x1 ) f ( x0 )，则函数的 平均变化率是
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y x x1 x0 x
而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于在点的 瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一 点处变化的快慢。
规律： 当区间的右端点逐渐接近1 时，平 均变化率逐渐接近2.
（二）、探究新课
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为
1 2 2 s gt 其中，g为重力加速度 ( g 9.8m / s ) 2
，试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。
分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式
质量y的改变 量 平均线密度 （Δ s ）/kg /（kg/m）
y x
2 2 2 2 2
2.1 2.01 2.001 2.0001 …
0.1 0.01 0.001 0.0001 …
0.070 0.0071 0.00071 0.000071 …
0.70 0.71 0.71 0.71 …
平均变化率 一般地,函数 的平均变化率为:
f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
在 [ x1 , x2 ] 区间上
探索思考
4.变式三:求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变化率.
y
C1 C3
答案：是0
B A
O
C2
平均变化率的缺点: 它不能具体说明 函数在这一段区间 上的变化情况.
（四）、练习： 课本30页练习2：1、2. （五）、作业： 课本习题2-1：3、4、5
一、教学目标： 1、理解函数瞬时变化率的概念； 2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能 根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快 慢。 3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解 决一些简单的实际问题。 二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某 点处变化的快慢。 教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理 解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
x2-x1 =△x
0
2 平均变化率的几何意义：
( x2 , f ( x2 )) 连线的斜率. 曲线 y f ( x) 上两点 ( x1 , f ( x1 ))、
平均变化率 一般地,函数 的平均变化率为:
f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
在 [ x1 , x2 ] 区间上
可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋 于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在 x0=2m处的线密度为0.71kg/m。从上面的分 析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m的物 理意义是，如果有1m长的这种线密度的合金 棒，其质量将为0.71kg。
（三）、小结：对于一般的函数 y
f ( x)
x
x1
x2
平均变化率 一般地,函数
的平均变化率为:
f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
在 [ x1 , x2 ] 区间上
探索思考
5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间 [1，3] , [1，2], [1，1.1] ,[1，1.01] ,[1，1.001]上的平均变化率. 答案：在这5个区间上的平均变化率分别是:4、3、 2.1、2.01、2.001
（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以 下函数关系：
y f ( x) 2 x
估计该合金棒在x=2m处的线密度 分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度， 就是这段合金棒的平均线密度。 解：由，我们可以计算出相应的平均线密度得到 下表
x0/s
x1/s
长度x的改变 量 （Δ x）/m
北师大版高中数学选修2-2 第二章《变化率与导数》
复习巩固
1 平均变化率的定义:
f ( x2 ) f ( x1 ) 一般地,函数 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 区间上的平均变化率为: x2 x1
y B(x2,f(x2))
A(x1,f(x1))
f(x2)-f(x1) =△y
x
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
探索思考
1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5]上的平 均变化率. 答案：都是2 2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化率. 答案：还是2 3.变式二:函数f(x): =kx+b在区间[m,n]上的平均变化率. 答案：是k
一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在 任意区间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.
s s(t1 ) s(t 0 ) 可以求出从5s到6s这段时间内 t t1 t 0 小球的平均速 s(6) s(5) 176 .4 122 .5 53.（ 9 m/s） 度 65 1
我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度。为了提 高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内 的平均速度
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t0/s
t1/s
时间的改 变量 （Δ t）/s 0.1 0.01 0.001 0.0001 …
路程的改 变量 （Δ s ） /m 4.95 0.49 0.049 0.0049 …
s t
平均速度
/（m/s）
5 5 5 5 5
5.1 5.01 5.001 5.0001 …
49.5 49.049 49.0049 49.00049 …
可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋 于49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬 时速度为49m/s。从上面的分析和计算可以看出， 瞬时速度为49m/s的物理意义是，如果小球保持 这一刻的速度进行运动的话，每秒将要运动 49m。 例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒， 长为10m。x（单位：m）表示OX这段棒长，y