2020学年河北省邢台市高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版) (2)

2020学年河北省邢台市高二下学期期末考试数学试题

一、 单选题

1．设(1)24i z i +=-，则2

z = （ ）

A B ．10 C ．D ．100

【答案】B

【解析】利用复数的除法运算化简z 为a bi +的形式，然后求得2z 的表达式，

进而求得2

z .

【详解】

()()()()

2412413111i i i z i i i i ---=

==--++-，2216986z i i i =++=-+，210z =.故选B. 【点睛】

本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题. 2．现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩ξ服从正态分布

2(520,)N δ，已知(470570)0.8P ξ≤≤=，则成绩高于570的学生人数约为

（ ） A ．1200 B ．2400 C ．3000 D ．1500

【答案】A

【解析】根据正态分布的对称性，求得(570)P ξ>的值，进而求得高于570的学生人数的估计值. 【详解】

10.8

(570)0.12

P ξ->=

=，则成绩高于570的学生人数约为40.1 1.2101200??=.故选A.

【点睛】

本小题主要考查正态分布的对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础题.

3．正切函数是奇函数，()()2tan 2f x x =+是正切函数，因此()()

2

tan 2f x x =+是奇函数，以上推理（ ） A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．以上均不正确

【答案】C

【解析】根据三段论的要求：找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可。 【详解】

大前提：正切函数是奇函数，正确；

小前提：()()2

tan 2f x x =+是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；

结论：()()2

tan 2f x x =+是奇函数，该函数为偶函数，故错误；

结合三段论可得小前提不正确. 故答案选C 【点睛】

本题考查简易逻辑，考查三段论，属于基础题。

4．随机变量(100,)X B p ~，且()20E X =，则(21)D X -=（ ） A ．64 B ．128

C ．256

D ．32

【答案】A

【解析】根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得p 的值，进而求得方差DX ，然后利用方差的公式，求得()21D X -的值. 【详解】

随机变量X 服从二项分布，且()20E X np ==，所以0.2p =，则

()1000.20.816D X =??=，因此()21464D X DX -==.故选A. 【点睛】

本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.

5．34132n

x x ?

?- ??

?的展开式存在常数项，则正整数n 的最小值为（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．14

【答案】C

【解析】化简二项式展开式的通项公式，令x 的指数为零，根据n 为正整数，求得n 的最小值. 【详解】

()

3

3714113322r r

n r

r

r n r n r r n n T C x C x x ---+????=-=- ? ?????

，令370n r -=，则73r n =，当3r =时，n 有最小值为7.故选C. 【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查与正整数有关问题，属于基础题.

6．已知函数()()2x

f x x a e =-，且()'13f e =，则曲线()y f x =在0x =处的

切线方程为（ ） A.10x y -+= B.10x y --= C.310x y -+= D.310x y ++=

【答案】B

【解析】先对已知函数f(x)求导，由()'13f e =可得a 的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。 【详解】

Q ()()()'2222x x x f x e x a e x a e =+-=+-，∴()()'143f a e e =-=，解得1a =，

即()()21x f x x e =-，()01f =-，则()()'21x

f x x e =+，∴()'01f =，∴曲

线()y f x =在点0x =处的切线方程为()110y x +=?-，即10x y --=. 【点睛】

本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a 。

7．由数字0，1，2，3组成的无重复数字且能被3整除的非一位数的个数为（ ） A ．12 B ．20 C ．30 D ．31

【答案】D

【解析】分成两位数、三位数、四位数三种情况，利用所有数字之和是3的倍数，计算出每种情况下的方法数然后相加，求得所求的方法总数. 【详解】

两位数：含数字1，2的数有2

2A 个，或含数字3，0的数有1个. 三位数：含数字0，1，2的数有1

2

22C A 个， 含数字1，2，3有3

3A 个. 四位数：有1

3

33C A 个.

所以共有212313

222333131A C A A C A ++++=个.故选D.

【点睛】

本小题主要考查分类加法计数原理，考查一个数能被3整除的数字特征，考查简单的排列组合计算，属于基础题.

8．某公司从甲、乙、丙、丁四名员工中安排了一名员工出国研学.有人询问了四名员工，甲说：“好像是乙或丙去了.”乙说：“甲、丙都没去.”丙说：“是丁去了.”丁说：“丙说的不对.”若四名员工中只有一个人说的对，则出国研学的员工是（ ） A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

【答案】A

【解析】逐一假设成立，分析，可推出。 【详解】

若乙去，则甲、乙、丁都说的对，不符合题意；若丙去，则甲、丁都说的对，不符合题意；若丁去，则乙、丙都说的对，不符合题意；若甲去，则甲、乙、丙都说的不对，丁说的对，符合题意.故选A. 【点睛】

本题考查合情推理，属于基础题。

9．5

4212x x x ??

++ ???的展开式中含5x 项的系数为（ ）

A.160

B.210

C.120

D.252

【答案】D

【解析】先化简3255

2

42(1)[12]x x x x x ??++ ?+=??

，再由二项式通项1k n k k

n n T C a b -+=，可得5x 项的系数。 【详解】

Q 510422

112x x x x x ????++=+ ? ?????，∴()102203110101C C r

r r r r r T x x x --+??== ???

，当=5r 时，55

5610C 252T x x ==.故选D.

【点睛】

本题考查二项式展开式中指定项的系数，解题关键是先化简再根据通项公式求系数。

10．某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ） A ．

3

20

B ．

313

C ．

79

D ．

1778

【答案】C

【解析】先求得“数学不排第一节，物理不排最后一节”的概率，然后求得“数学不排第一节，物理不排最后一节，化学排第四节”的概率.再根据条件概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】

设事件A：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件B：化学排第四节. ()4113

4333

55

55

78

A C C A

P A

A A

+

==，()

3112

3222

55

55

14

A C C A

P AB

A A

+

==，故满足条件的概率是

()

()

7

39

P AB

P A

=.故选C.

【点睛】

本小题主要考查条件概型计算，考查古典概型概率计算，考查实际问题的排列组合计算，属于中档题.

11．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（）

A．120种B．240种C．144种D．288种

【答案】D

【解析】首先计算出“黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，然后计算出“红色在左右两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案”数，用前者减去后者，求得题目所求不同的涂色方案总数.

【详解】

不考虑红色的位置，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两个相邻的涂色方案有()

2232

3234

432

C A A A

??=种. 这种情况下，红色在左右两端的涂色方案有()

22122

32223

144

C A C A A

???=种；从而所求的结果为432144288

-=种.故选D. 【点睛】

本小题主要考查涂色问题，考查相邻问题、不在两端的排列组合问题的求解策略，考查对立事件的方法，属于中档题.

12．已知函数2

()ln(2)1()

f x x ax a x a Z

=++++∈在(0,)

+∞上恒不大于0，则a 的最大值为（）

A．2-B．1

-C．0 D．1

【答案】A

【解析】先求得函数导数，当0a ≥时，利用特殊值判断不符合题意.当0a <时，根据()f x 的导函数求得()f x 的最大值，令这个最大值恒不大于零，化简后通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性和零点，并由此求得a 的取值范围，进而求得a 的最大值. 【详解】

()()()2111

'22(0)x ax f x ax a x x x

++=+++=>，当0a ≥时，()'0f x >，则

()f x 在()0,+∞上单调递增，()1230f a =+>，所以不满足()0f x ≤恒成立；当0a <时， ()'0f x >在10,a ??

- ??

?上单调递增，在1,a

??-+∞ ??

?

上单调递减，所

以()111ln f x f a a a ????≤-=-- ? ?????，又()0f x ≤恒成立，即11

ln 0a a

??--≤ ???. 设

()ln g x x x =+，则10g a ??

-≤ ???

. 因为()g x 在()0,+∞上单调递增，且

()110g =>

，11

ln2ln2022

g ??=-+=< ???

，所以存在唯一的实数

01,12x ??

∈ ???

，使得()00g x =，当()00,x x ∈时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，

()0g x >，所以01

0x a

<-

≤，解得()012,1a x ≤-∈--，又a Z ∈，所以2a ≤-，

故整数a 的最大值为2-.故选A. 【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查构造函数法，考查零点存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题

13．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____ 【答案】7

【解析】利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部. 【详解】

()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7. 【点睛】

本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.

14．设()28210

012101(43)(21)(21)(21)x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ，则

1210a a a ++?+= _______________．

【答案】3

4

【解析】先令1

2

x =

可求出0a 的值，然后利用1x =可得出01210a a a a L ++++，然后将两式相减可得出代数式的值。 【详解】

()

()()()()8210

201210143212121x x a a x a x a x +-=+-+-++-Q L ，

令12x =可得8

021********

a ????=+??-= ? ?????，

令1x =可得()

()8

2

01210114132a a a a ++++=+??-=L ，

因此，()121001210053

244a a a a a a a a +++=++++-=-=L L ，故答案为：34

. 【点睛】

本题考查二项展开式项的系数和，一般利用赋值法来求解，赋值如下：

设()2012n

n f x a a x a x a x =++++L ，则

（1）()00a f =；（2）()0121n f a a a a =++++L ；（3）

()()01211n

n f a a a a -=-+++-L .

15．若1x =是函数()()

25x

x a e f x x =+-的极值点，则()f x 在[]22-,

上的最小值为______. 【答案】3e -

【解析】先对f(x)求导，根据()'10f =可解得a 的值，再根据函数的单调性

求出区间[]22-,上的最小值。 【详解】

()()()25'2x x x a e e f x x x a =+++-2

(2)5x e x a x a ??=+++-??， 则()()'1220f e a =-=，解得1a =，所以()()25x

f x x x e =+-，

则()()

2'34x e x f x x =+-()()41x

e x x =+-.令()'0

f x >，得4x <-或1x >；

令()'0f x <，得41x -<<.所以()f x 在[)2,1-上单调递减；在(]1,2上单调递增.所以()()min 13f x f e ==-.

【点睛】

本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由()'10f =求出未知量a 。

16．某技术学院为了让本校学生毕业时能有更好的就业基础，增设了平面设计、工程造价和心理咨询三门课程.现在有6名学生需从这三门课程中选择一门进修，且每门课程都有人选，则不同的选择方法共有______种（用数学作答）. 【答案】540

【解析】根据题意可知有3种不同的分组方法，依次求出每种的个数再相加即得。 【详解】

由题可知6名学生不同的分组方法有三类：①4，1，1；②3，2，1；③2，2，

2.所以不同的选择方法共有41133213222

621363136422

2

540C C C A C C C A C C C A ++=种. 【点睛】

本题考查计数原理，章节知识点涵盖全面。

三、解答题

17．某周末，郑州方特梦幻王国汇聚了八方来客. 面对该园区内相邻的两个主题公园“千古蝶恋”和“西游传说”，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同. 某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题公园中二选一）进行了问卷调查. 调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择“西游传说”，而选择“西游传说”的未成年人有20人.

(1）根据题意，请将下面的22?列联表填写完整；

（2）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.

附参考公式与表：2

2

()()()()()()

n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=

=+++++++.

【答案】（1）见解析；（2）没有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有

关

【解析】（1）根据题目所给数据填写好22

?列联表.（2）计算2

K的观测值

100

6.635

21

<，由此判断“没有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关”.

【详解】

（1）根据题目中的数据，列出22

?列联表如下：

（2）2

K的观测值是

()2

10010304020100

3070505021

k

?-?

==

???

.

因为100

6.635

21

<，所以没有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.

【点睛】

本小题主要考查补全22

?列联表，考查独立性检验的有关计算和运用，属于基础题.

18．互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生

活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，

在这60人中，45岁以下的占2

3

，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45

岁及以上的有30人.

（1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；

（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的

消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.

【答案】（1）

291

494

；（2）440 【解析】（1）先计算出选取的3人中，全都是高于45岁的概率，然后用1减去这个概率，求得至少有1人的年龄低于45岁的概率.（2）首先确定“销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数”满足二项分布，求得销售额的表达式，然后利用期望计算公式，计算出销售额的期望. 【详解】

（1）设事件A 表示至少有1人的年龄低于45岁，

则()3

30340291

1494

C P A C =-=.

（2）由题意知，以手机支付作为首选支付方式的概率为

603

1005

=. 设X 表示销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数，则

3~10,5X B ?? ???

，

设Y 表示销售额，则()40501050010Y X X X =+-=-，

所以销售额Y 的数学期望3

5001050010104405

EY EX =-=-??=（元）.

【点睛】

本小题主要考查利用对立事件来计算古典概型概率问题，考查二项分布的识别和期望的计算，考查随机变量线性运算后的数学期望的计算.

19．已知数列1111

,

,,,,112123123n

+++++++L L L ，其前n 项和为n S ； （1）计算1234,,,S S S S ；

（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.

【答案】（1）4381,,,325；（2）21

n n S n =+，证明见解析 【解析】（1）根据已知条件，计算出1234,,,S S S S 的值；（2）由（1）猜想21

n n

S n =+，根据数学归纳法证明方法，对猜想进行证明. 【详解】

（1）计算1214

1,1123

S S ==+

=+， 341331232S =

+=++，4318212345

S =+=+++， （2）猜想21

n n

S n =

+. 证明：①当1n =时，左边11S ==，右边21

111

?==+，猜想成立. ②假设()*

n k k N =∈猜想成立.

即111121*********

k k

S k k =+++?+=++++++?++成立，

那么当1n k =+时，

()()

1122

1231112k k k S S k k k k k +=+

=++++++++++L ，

而()()()()()()()2

212122

1121211

k k k k k k k k k +++==+++++++， 故当1n k =+时，猜想也成立. 由①②可知，对于*n N ∈，猜想都成立. 【点睛】

本小题主要考查合情推理，考查利用数学归纳法证明和数列有关问题，属于中档题.

20．在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.

经计算样本的平均值81μ≈，标准差 6.2σ≈. 为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X ，并根据以下不等式进行评判 ① ()0.6828P X μσμσ-<<+≥； ② (22)0.9544P X μσμσ-<<+≥； ③ (33)0.9974P X μσμσ-<<+≥

评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷. （1）试判断该份试卷被评为哪种等级；

（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10

名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1）该份试卷应被评为合格试卷；（2）见解析 【解析】（1）根据频数分布表，计算()P X μσμσ-<<+，

(22)P X μσμσ-<<+，(33)P X μσμσ-<<+的值，由此判断出“该份试

卷应被评为合格试卷”.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望. 【详解】

（1）34

()(74.887.2)0.680.682850

P X P X μσμσ-<<+=<<=

=<， 49

(22)(68.693.4)0.980.954450

P X P X μσμσ-<<+=<<=

=>， (33)(62.499.6)10.9974P X P μσμσμ-<<+=<<=>，

因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷. （2）50人中成绩一般、良好及优秀的比例为2:5:3，所以所抽出的10人中，成绩优秀的有3人，所以ξ的取值可能为0，1，2，3

()47410351

02106C P C ξ====；()31

73410105112102C C P C ξ====；

()2273410633221010C C P C ξ====；()137341071

321030

C C P C ξ====.

所以随机变的ξ分布列为

故1131

0123 1.2621030

E ξ=?+?+?+?=.

【点睛】

本小题主要考查正态分布的概念，考查频率的计算，考查超几何分布的分布列以及数学期望的计算，属于中档题.

21．随着智能手机的普及，各类手机娱乐软件也如雨后春笋般涌现. 如表中统计的是某手机娱乐软件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注册用户数，记月份代码为t （如1t =对应于2018年8月份，2t =对应于2018

年9月份，…，9

t=对应于2019年4月份），月新注册用户数为y（单位：百万人）

（1）请依据上表的统计数据，判断月新注册用户与月份线性相关性的强弱；（2）求出月新注册用户关于月份的线性回归方程，并预测2019年5月份的新注册用户总数.

参考数据：

9

1

318.5

i i

i

t y

=

=

∑，92

1

364.2

i

i

y

=

=

∑678.2

≈.

回归直线的斜率和截距公式：

()()

()

11

222

11

?

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

t t y y t y nty

b

t t t nt

==

==

---

==

--

∑∑

∑∑

，?

?a y bt

=-. 相关系数

()()

()()

1

22

11

n

i i

i

n n

i i

i i

t t y y

r

t t y y

=

==

--

=

--

∑

∑∑

（当||0.75

r>时，认为两相关变量相关

性很强. ）

注意：两问的计算结果均保留两位小数

【答案】（1）月新注册用户与月份的线性相关性很强；（2）10.06百万

【解析】（1）根据题目所给数据和相关系数计算公式，计算出相关系数

0.990.75

r≈>，由此判断出“月新注册用户与月份的线性相关性很强”.（2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并利用回归直线方程预测出2019年5月份的新注册用户总数.

【详解】

（1）由题意得()

1

12395

9

t=++++=

L，

()

1

3.2 3.8

4.39.56

9

y=++++=

L，

9

22222

1

1239285

i

t

=

=+++?+=

∑，

()()

99

11

9318.595648.5

i i i i

i i

t t y y t y ty

==

--=-=-??=

∑∑，

()()

9999

222222

1111

99

i i i i

i i i i

t t y y t t y y

====

????

--=--

???

????

∑∑∑∑

49.2==≈，

故

9

948.5

0.9949.2

n

t t y y t y ty

r ---==

=

≈.

因为0.990.75>，所以月新注册用户与月份的线性相关性很强.

（2）由（1）()()

()

9

9

11992

2

2

1

1

99?i i i i i i i

i i i t t

y y t y ty b

t t t t

====---==

--∑∑∑∑

318.595648.5

0.8128592560

-??=

=≈-?，

48.565 1.660??9a

y bt =-=-?≈， 所以回归方程为0.8116?.9y

t =+， 令10t =，得?10.06y =，即2019年5月份新注册用户预测值为10.06百万人.

【点睛】

本小题主要考查相关系数的计算，考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.

22．已知函数()2

ln 2f x x x ax =+-.

（1）若3

2

a =

，求()f x 的零点个数； （2）若1a =，

()2

1221x

x ex

g x e x =+---，证明：()0,x ?∈+∞，()()0f x g x ->. 【答案】（1）1（2）见解析

【解析】（1）将a 的值代入f(x)，再求导得()()()2'11x x x

f x --=

，在定义

域内讨论函数单调性，再由函数的最小值正负来判断它的零点个数；（2）把a 的值代入f(x)，将()()0f x g x ->整理化简为2

ln x x x x x e e

+>

-，即证明该不等式在()0,x ∈+∞上恒成立，构造新的函数()()ln 0x x x x x ?=+>，利用导数可知其在定义域上的最小值，构造函数()()2

0x x h x x e e

=

->，由导数可知其定义域上的最大值，二者比较大小，即得证。 【详解】

（1）解：因为32a =，所以()()()2211231'x x x x x x

f x ---+==. 令()'0f x >，得1x >或102

x <<

；令()'0f x <，得1

12x <<，

所以()f x 在10,2?? ???

，()1,+∞上单调递增，在1,12??

???上单调递减，

而15ln 2024f ??

=--< ???

，()120f =-<，()3ln30f =>，

所以()f x 的零点个数为1.

（2）证明：因为1a =，从而()2

ln 2f x x x x =+-.

又因为()2

1221x x ex

g x e x =

+---， 所以要证()0,x ?∈+∞，()()0f x g x ->恒成立，

即证()0,x ?∈+∞，2

2

12ln 2210x e x x x x x ex

+--

-+++>恒成立， 即证()0,x ?∈+∞，2

ln x

x x x x e e

+>

-恒成立. 设()()ln 0x x x x x ?=+>，则()'ln 2x x ?=+， 当2x e ->时，()'0x ?>，()x ?单调递增； 当20x e -<<时，()'0x ?<，()x ?单调递减.

所以()()2

2

min 1x e e ??-==-

. 设()()20x x h x x e e =

->，则()1'x x h x e

-=， 当01x <<时，()'0h x >，()g x 单调递增； 当1x >时，()'0h x <，()g x 单调递减.

所以()()max 11h x h e ==-，所以()()2min max 11

x h x e e ?=->=-，

所以()0,x ?∈+∞，2

ln x

x x x x e e

+>

-恒成立， 即()0,x ?∈+∞，()()0f x g x ->. 【点睛】

本题考查用导数求函数的零点个数以及证明不不等式，运用了构造新的函数的方法。