薛定谔方程及其应用

I ∝| Ψ |2 = ΨΨ ∗ 正实数
的共轭复数。 Ψ *是 Ψ 的共轭复数。
由玻恩的统计解释， 由玻恩的统计解释，在某处德布罗意波的强度是 与粒子在该处出现的概率Ｗ成正比的。 与粒子在该处出现的概率Ｗ成正比的。
∴ W ∝| Ψ |
2
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 概率为： 的概率为： dW = Ψ 2 dV = ΨΨ * dV
| 由此可见， 由此可见，Ψ |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子出 几率密度。 现的几率，称为几率密度 现的几率，称为几率密度。即： 2
ω =| Ψ |
3
根据波恩的解释， 根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来 物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的， 说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的， 物质波是一种几率波， 物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计 规律。 规律。 波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于 年提出的。 波函数的统计意义是波恩于 年提出的 波恩在量子力学所作的基础研究， 波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统 计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。 年的诺贝尔物理学奖。 计解释，他与博特共享了 年的诺贝尔物理学奖
− i 2 π (ν t − x
x
y ( x , t ) = Re[ A e
λ
)
λ
]
1
2、量子力学波函数（复函数） 、量子力学波函数（复函数） 自由粒子是不受外力作用的粒子 是不受外力作用的粒子， 自由粒子是不受外力作用的粒子，它在运动 过程中作匀速直线运动（设沿X轴），其能量和 过程中作匀速直线运动（设沿 轴），其能量和 动量保持不变。 动量保持不变。 E h ν= , λ= 对应的德布罗意波的频率和波长： 对应的德布罗意波的频率和波长： h P 结论：自由粒子的物质波是单色平面波。 结论：自由粒子的物质波是单色平面波。
ℏ 2 ∂ 2 Ψ( r , t ) ∂ 2 Ψ(r , t ) ∂ 2 Ψ( r , t ) ∂Ψ ( r , t ) iℏ [ ] =− + + 2 2 2 2m ∂t ∂x ∂y ∂z
+ U ( r , t )Ψ ( r , t )
为书写方便，我们引入拉普拉斯算符： 为书写方便，我们引入拉普拉斯算符： 拉普拉斯算符
−∞
a/2
∫
∞
Ψ dx = A2 ∫ sin
2 0
a
2 πx
a
dx = 1
∫
0
2 Ψ dx = a
2
a/2
∫
0
1 sin dx = a 2
2
πx
(3)概率最大的位置应该满足 概率最大的位置应该满足
wk.baidu.com解得
a 2 A =1 2
2 A= a
(2)粒子的概率密度为 粒子的概率密度为
2
2 2 πx Ψ = sin a a
∫
V
5
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中， 以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只 有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
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德布罗意波（概率波） 经典波（如机械波、电磁波） 德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经 典 波
是振动状态的传播 波强（振幅的平方） 波强（振幅的平方）代 表通过某点的能流密度 能流密度分布取决于空间 各点的波强的绝对值。 各点的波强的绝对值。
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二、薛定谔方程
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经典力学中， 经典力学中，已知力 F 及 x0、 υ 0，可由牛顿方 程求质点任意时刻状态。 程求质点任意时刻状态。 在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来 在量子力学中， 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。 描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时， 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 时刻粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
i − ( Et − px ) ℏ
p E= 2m
比较以上三式，可得： ∂Ψ 比较以上三式，可得：ℏ i
2
③
2 2
∂Ψ ( x , t ) ℏ ∂ Ψ( x , t ) =− ④ 2 2m ∂t ∂x 12
ℏ ∂ Ψ( x , t ) ∂Ψ ( x , t ) ④ iℏ =− 2 2m ∂t ∂x
2 2
这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。 这就是一维空间运动的自由粒子的薛定谔方程。 自由粒子的薛定谔方程 2.薛定谔方程的一般形式 薛定谔方程的一般形式 若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其 若粒子不是自由的，而是在某力场中运动， 势能函数为E ＝Ｕ(x,t)，则粒子的总能量应为： 势能函数为 P＝Ｕ ，则粒子的总能量应为：
⑥
∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
则上式可写为： 则上式可写为：
ℏ ∂Ψ ( r , t ) 2 iℏ =− ∇ Ψ ( r , t ) + U ( r , t )Ψ ( r , t ) 2m ∂t
2
⑦
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ℏ2 2 ∂Ψ ( r , t ) iℏ =− ∇ Ψ ( r , t ) + U ( r , t )Ψ ( r , t ) ⑦ 2m ∂t
一、薛定谔方程 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程， 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它 必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。 必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
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1.自由粒子的薛定谔方程 自由粒子的薛定谔方程 动量为P 质量为m、能量为E的自由粒子 的自由粒子， 动量为 、质量为 、能量为 的自由粒子， 沿 x 轴运动的波函数为： 轴运动的波函数为：
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例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a 作一维运动的粒子被束缚在 的范围内，已知其波函数为： 的范围内，已知其波函数为：
Ψ ( x ) = A sin
πx
a
求：(1)常数 ；(2)粒子在 到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 常数A； 粒子在0到 区域内出现的概率； 粒子在何 常数 粒子在 区域内出现的概率 处出现的概率最大？ 处出现的概率最大？ 解：(1)由归一化条件 由归一化条件
21.5 波函数 薛定谔方程 一 、波函数 1、经典的波与波函数 、 机械波
y ( x , t ) = A cos 2π (ν t −
x
λ
)
电磁波
E ( x , t ) = E 0 cos 2π (νt − )
x
λ
经典波为实 经典波为实函数
H ( x , t ) = H 0 cos 2π (ν t − )
求二阶偏导： 对 x 求二阶偏导：
i − ( Et − px ) ℏ
i = − EΨ ( x , t ) ① ℏ
Ψ ( x , t ) = Ae
i − ( Et − px ) ℏ
i ∂Ψ ( x , t ) i = pΨ0 e = pΨ( x , t ) ℏ ℏ ∂x i 2 2 − ( Et − px ) ∂ Ψ ( x , t ) ip 2 p ℏ = ( ) Ψ 0e = − 2 Ψ( x , t ) ② 2 ∂x ℏ ℏ
d 2π 2πx 2 sin Ψ = =0 dx a a 即当 2πx = kπ , k = 0,±1,±2, ⋯ a
时，粒子出现的概率最大。因 粒子出现的概率最大。 为0<x<a，故得 ，故得x=a/2，此处粒 ， 子出现的概率最大。 子出现的概率最大。
粒子在0到 区域内出现的概率 粒子在 到a/2区域内出现的概率
德布罗意波
不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方） 波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
概率密度分布取决于空间各 点波强的比例， 点波强的比例，并非取决于 波强的绝对值。 波强的绝对值。 因此， 因此，将波函数在空间各 因此， 因此，将波函数在空间各 点的振幅同时增大 C倍，则 倍 倍 该处的能流密度增大 C2 倍， 点的振幅同时增大 C倍，不影 响粒子的概率密度分布， 响粒子的概率密度分布，即 变为另一种能流密度分布状 和C 所描述德布罗意波的状 态。 态相同。 态相同。 波动方程无归一化问题。 波动方程无归一化问题。 波函数存在归一化问题。 波函数存在归一化问题。
Ψ ( x , t ) = Ae
对时间求微商，得到： 对时间求微商，得到：
−i
2π ( Et − px ) h
i − ( Et − px ) ∂Ψ ( x , t ) 2π i ℏ = −i EΨ0 e = − EΨ ( x , t ) ℏ ℏ ∂t
①
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i ∂Ψ ( x , t ) = − EΨ0 e ℏ ∂t
Ψ(r , t ) = ϕ (r ) f (t )
ℏ2 2 ∂Ψ ( r , t ) 代入 iℏ =− ∇ Ψ ( r , t ) + U ( r , t )Ψ ( r , t ) ∂t 2m
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ℏ2 2 ∂Ψ ( r , t ) 代入 iℏ =− ∇ Ψ ( r , t ) + U ( r , t )Ψ ( r , t ) 2m ∂t 2 ℏ ∂ 2 iℏ [ϕ ( r ) f ( t )] = − ∇ [ϕ ( r ) f ( t )] + U ( r )ϕ ( r ) f ( t ) 2m ∂t 可得： 两边除以ϕ ( r ) f ( t )，可得： 2 1 ∂f ( t ) 1 ℏ 2 iℏ [− = ∇ ϕ ( r ) + U ( r )ϕ ( r )] f ( t ) ∂t ϕ ( r ) 2m
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三、定态薛定谔方程 定态：能量不随时间变化的状态。 定态：能量不随时间变化的状态。 如果粒子的势能并不随时间而变化， 如果粒子的势能并不随时间而变化，即： U=U(x,y,z)，它不包含时间（在经典力学中这相应 ，它不包含时间（ 于粒子机械能守恒的情况） 于粒子机械能守恒的情况）。 在这种情况下，可以用分离变量法把波函 在这种情况下， 数写成空间坐标函数和时间函数的乘积， 数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：
1 ∂f ( t ) 1 ℏ2 2 iℏ [− = ∇ ϕ ( r ) + U ( r )ϕ ( r )] = E ϕ ( r ) 2m f ( t ) ∂t
p E= + U ( x, t ) 2m
此时的薛定谔方程为： 此时的薛定谔方程为：
2
ℏ 2 ∂ 2 Ψ( x , t ) ∂Ψ ( x , t ) iℏ =− + U ( x , t )Ψ ( x , t ) ⑤ 2 2m ∂t ∂x
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若粒子不是在一维空间而是在三维空间的势场 中运动，则其薛定谔方程为： 中运动，则其薛定谔方程为：
Ψ ( x , t ) = Ae
对三维空间， 对三维空间，沿矢径 波函数为： 波函数为：
−i
2π ( Et − Px ) h
r 方向传播的自由粒子的
注意： 注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来 表达。不能用实数形式来表达。 表达。不能用实数形式来表达。
2
３、波函数的统计解释 与光波类比，物质波的强度： 与光波类比，物质波的强度：
∂ ∂ ∂ ∇=i +j +k ∂x ∂y ∂z ℏ2 2 引入哈密顿算符 ˆ 哈密顿算符： 引入哈密顿算符：H = − ∇ +U 2m
ˆ Ψ = iℏ ∂ Ψ 式可写为： 则⑦式可写为： H ∂t
这就是薛定谔方 程的一般形式。 程的一般形式。
薛定谔方程是量子力学的最基本的方程， 薛定谔方程是量子力学的最基本的方程，是 量子力学的一个基本假设。 量子力学的一个基本假设。
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４、波函数应满足的条件 1）标准条件 ） 粒子在某一个时刻t， 粒子在某一个时刻 ，在空间某点上粒子出现的几 率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的 单值的、 率应该是唯一的、有限的，所以波函数必须是单值的、 有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变， 有限的；又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变， 所以波函数还必须是连续的 连续的。 所以波函数还必须是连续的。 波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件，称 波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件， 为波函数的标准条件 也就是说，波函数必须连续可 标准条件。 为波函数的标准条件。也就是说，波函数必须连续可 且一阶导数也连续可微。 微，且一阶导数也连续可微。 2）归一化条件 ） 由于粒子必定要在空间中的某一点出现， 由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任 意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是1。 意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是 。所以 应有： 应有： | Ψ |2 dV ≡ 1