菱形的判定专项练习题

菱形的判定专项练习30题（有答案）
1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．
2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．
求证：BC=2DN．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长．
4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；
（2）▱ABCD是菱形．
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形．
6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．
7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形．
（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．
求证：（1）∠B=∠C；
（2）▱ADFE是菱形．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：△AEG≌△AEC；
（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；
（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．
求证：四边形ADEF是菱形．
12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形MENF 为菱形．
13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：四边形ABED是菱形．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形AMON是菱形．
15．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．
16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M．
求证：四边形ANCM是菱形．
17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．
18．已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明理由．
19．已知：如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证：四边形BFDE是菱形．
20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．
（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．
22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB．求证：四边形ABEF为菱形．
23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．
（1）求证：AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积．
24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．
25．如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．（1）AC与EF互相平分吗？为什么？
（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？
26．已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．
27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；
（3）在（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由．
28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．
29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
30．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．
矩形的判定专项练习30题参考答案：
1．1）证明：∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=BC，
∵BA=AD=DC=BC，
∴AB=BE=ED=AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）解：过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵CD=DE=CE，
∴∠DEC=60°，
∴∠DBE=30°，
在Rt△BDH中，BD=4cm，
∴DH=2cm，
∵AF=DH，
∴AF=2cm．
2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形，
∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO，∴MN=BC，∴BC=2DN 3．（1）∵D，E分别是BC，AB的中点，
∴DE∥AC且DE=AF=AC．
同理DF∥AB且DF=AE=AB．
又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，
∴四边形AEDF是菱形．
（2）∵E是AB中点，∴AE=AB=6cm，因此菱形AEDF
的周长为4×6=24cm．
4．（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，
∵BC∥AF，
∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．
（2）∵EF∥BD，
∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴□ABCD是菱形．
5．1）证明：∵E是AD的中点，∴∠1=∠2，
在△AEF和△DEC 中，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=DC；
（2）证明：∵D是BC的中点，
∴DB=CD=BC，
∵AF=CD，
∴AF=DB，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D为BC中点，
∴AD=CB=DB，
∴四边形AFBD是菱形．
6．∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∴DC=BC，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
7．（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，
∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，
∴∠FAC=60°，
∴AD=DC=AC，
又∵△ABC≌△EFC，
∴CA=CE，
又∵∠ECF=60°，
∴AC=EC=AE，
∴AD=DC=CE=AE，
（2）
证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，
∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，
∴BC=AC，
∵EC=CB，
∴EC=AC，
∴E为AC中点，
∴DE⊥AC，
∴AE=EC，
∵AG∥BC，
∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，
∴△AEG≌△CEB，
∴AG=BC，（7分）
∴四边形ABCG是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCG是矩形
8．在△ADE和△CDF中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°．
又∵DE=DF，
∴△ADE≌△CDF（AAS）
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形
9．（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF，
∴∠EHC=∠B（两直线平行，同位角相等）．
∵EH=EC（已知），
∴∠EHC=∠C（等边对等角），
∴∠B=∠C（等量代换）；
（2）∵DE∥BC（已知），
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．
∵∠B=∠C，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∴▱ADFE是菱形．
10．1）证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．在Rt△AEG与Rt△AEC中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；
（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；
（3）解：四边形GECF是菱形．理由如下：
∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECFR是菱形．
11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE AC，EF AB，
∴四边形ADEF为平行四边形．
又∵AC=AB，
∴DE=EF．
∴四边形ADEF为菱形．
12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，
∴ME∥AB，ME=AB，
同理：FH∥AB，FH=AB，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵M．F是AD，AC中点，
∴MF=DC，
∵AB=CD，
∴MF=ME，
∴四边形MENF为菱形
13．∵AE平分∠BAD，
∵，
∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）
∴BE=DE，…（3分）
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，…（4分）
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，…（5分）
∴AB=BE=DE=AD，…（6分）
∴四边形ABED是菱形．
14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，
∴AM=AB=AC=AN，
M0∥AC，NO∥AB，且MO=AC=AN，
NO=AB=AM（三角形中位线定理），
∴AM=MO=AN=NO，
∴四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）
15．证法一：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，
∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CE=CE，
∴由勾股定理得：AC=CF，
∵△ACG和△FCG中
，
∴△ACG≌△FCG，
∴∠CAD=∠CFG，
∵∠B=∠CAD，
∴∠B=∠CFG，
∴GF∥AB，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，
即AG∥EF，AE∥GF，∴平行四边形AEFG是菱形．
证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，
∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，
∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，
∴∠1=∠2，
∵AD∥EF，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AG=AE，
∵AE=EF，
∴AG=EF，
∵AG∥EF，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∵AE=EF，
∴平行四边形AGFE是菱形．
16．∵CD∥AB，
∴∠FMC=∠FAN，
∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），
在△CFM和△AEN中，
，
∴△CFM≌△AEN（ASA），
∴CM=AN，
∴四边形ANCM为平行四边形，
在△ADM和△CFM中，
，
∴△ADM≌△CFM（AAS），
∴AM=CF，
∴四边形ANCM是菱形
17．四边形BMDN是菱形．
∵AM∥BC，
∴∠AMB=∠MBN，
∵BM∥FN
∴∠MBN=∠BNF，
∴∠AMB=∠BNF，
又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，
∴△ABM≌△BFN，
∴DM=DN，
∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，
∴△ABM≌△EDM，
∴BM=DM，
∴MB=MD=DN=BN，
∴四边形BMDN是菱形
18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF 为平行四边形．
∵DE∥AC，∴∠3=∠2，
又∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形．
19．∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠EBD=∠EDB．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD=∠FBD．
∴∠FBD=∠EDB，
∴ED∥BF．
同理，DF∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形．
又∵EB=ED，
∴四边形BFDE是菱形．
20．方法一：∵AE∥FC．
∴∠EAC=∠FCA．（2分）
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF．（5分）
∴EO=FO．
又EF⊥AC，
∴AC是EF的垂直平分线．（8分）
∴AF=AE，CF=CE，
又∵EA=EC，
∴AF=AE=CE=CF．
∴四边形AFCE为菱形．（10分）
方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）
∴AE=CF．
∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）
又∵EF是AC的垂直平分线，方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）
又EF⊥AC，（9分）
∴四边形AFCE为菱形
21．（1）四边形BEDF是菱形．
在△DOF和△BOE中，
∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，
所以△DOF≌△BOE，
所以OE=OF．
又因为EF⊥BD，OD=OB，
所以四边形BEDF为菱
形．（5分）
（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，
则DO=10，EO=7.5．
由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．
S菱形EBFD =EF•BD=BE•AD，
即
所以得AD=12．
根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．
由2（AB+AD）=2（16+12）=56，
故矩形ABCD的周长为56
22．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠FAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∴平行四边形ABEF为菱形
23．（1）证明：在矩形ABCD中，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，
∴∠EAC=∠FCA．
∴AE∥CF．
∴四边形AECF为平行四边形，
又∠CAE=∠ACE，
∴AE=EC．
∴▱AECF为菱形．
（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，
AB2+BE2=AE2，
所以EC=5，
即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．
24．四边形AFCE是菱形，理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴=，
∵AO=OC，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形
25．（1）AC与EF互相平分，连接CE，AF，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，
又∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF，
∴AE=CF，
∴AE∥CF，AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AC与EF互相平分；
（2）条件：EF⊥AC，
∵EF⊥AC，
又∵四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形．
26．∵AB=DC AC=BD BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠DBC=∠ACB，
∴BE=CE，
又∵∠BEC的平分线是EF，
∴EO是中线（三线合一），
∴BO=CO，
∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），
又∵BE=CE，
∴四边形BFCE是菱形．
27．（1）证明：∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，
D是BC边的中点，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，
∴△BDE≌△CDF．
（2）如图所示，由（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形；（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：当AB=AC 时，则有AD⊥BC，又（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．
28．（1）∵DE为BC的垂直平分线，
∴∠EDB=90°，BD=DC，
又∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴E为AB的中点，
∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，
∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，
∠DEC=∠DFA，
∴AF∥CE，
又∵AF=CE，
∴四边形ACEF为平行四边形；
（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，
又∵∠BED=∠DEC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，又EB=EC，
∴AE=EC=EB，
∵CE=AB，
∴AC=AB即可，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴当∠B=30°时，AB=2AC，
故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．
29．∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO
即EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形
30．1）解：OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）解：当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，∵OE=OF，
∴四边形AECF是正方形；
（3）答：不可能．解：如图所示，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）
=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．。