理论力学-动量矩定理

e x


dL y dt

M
e y


dLz dt

M
e z


刚体定轴转动微分方程
例题
均质圆轮半径为 R、质
O
量为 m 。圆轮在重物 带
动下绕固定轴 O 转动，
已知重物重量为 W。
求：重物下落的加速度
W
刚体定轴转动微分方程
例题2

O

aP W
解：以圆轮和重物组成的质点系为研
究对象。设圆轮的角速度和角加速度
Lz J z
dLz dt

M
e z
J z M z
Jz&& M z
该式即为刚体定轴转动微分方程。即刚体对定轴转动的转动 惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力系对该 轴之矩。
刚体定轴转动微分方程 例题1
图示钟摆简化模型中，已知均质细杆
和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆 长为l，圆盘直径为d。
dt

m
vC

rC

m
d vC dt

d LC dt

n i
rC Fie
n i
ri Fie
d rC
dt
vC
,
d vC dt
aC ,
vC vC 0 ,
maC
Fie
d LC
dt

n i
ri Fie
dLC
dt

n i
MC (Fie )
第11章 动量矩定理
刚体平面运动微分方程
刚体平面运动微分方程
xC yC
取质心C为基点，其坐标为
xC、yC，设D为刚体上任意一点
，CD与x轴的夹角为φ, 则刚体
的位置可由xC、yC和φ确定。
将刚体的运动分解为随质心的平移和绕质心的转动两部 分。当刚体具有质量对称面、且质量对称面平行于运动平 面时，则在固连于质心的平移参考系中，刚体对质心的动 量矩为
因为
mi vi m vC
所以有 LO rC mvC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
d LO
dt
d dt ( rC m vC LC )
n i
ri Fie
ri rC rr
d rC
刚体平面运动微分方程
例题3
解：2．确定圆轮在斜面上不滑动的
α
最小静摩擦因数
aC
F
aC

2 3
gsin
F

JC
r

1 mr2 aC
2
r2

1 2
maC
FN
F

1 3
mgsin

FN
fs
0 mgcos FN
F

1 3
mgsin

FN
fs
f smin

1 tan
3
此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。
试求： 1．圆轮滚至任意位置时的质心
加速度 aC ； 2．圆轮在斜面上不打滑的最小
静摩擦因数。
刚体平面运动微分方程
例题3
α
F
aC
FN
解：分析圆轮受力
1．确定圆轮质心的加速度 圆轮作平面运动。根据刚
体平面运动微分方程，有
maC mgsin F
0 mgcos FN JC Fr
刚体平面运动微分方程
例题4
均质杆AB长为l，放放置于铅垂 平面内，杆一端A靠在光滑的铅垂 墙上，另一端B放在光滑的水平面
上，与水平面的夹角为0。然后
，令杆由静止状态滑下。
求：杆在任意位置时的角加速度。
刚体平面运动微分方程
例题4
解：以杆为研究对象，杆作
FA
平面运动，分析其受力
列出平面运动微分方程
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
Oxyz为固定坐标系，建立在质心C上随质心平移的动坐
标系为Cx´y´z´ 。质点系内第i个质点的质量为mi ，相对质 心的位矢为 r´i ，相对质心的速度为 vi r 。
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
根据动量矩定义，质点系相对质心的动 量矩应为
刚体平面运动微分方程
例题3
α
F
aC
FN
（4）式代入（3）式，得
maC mgsin F （1）
0 mgcos FN （2）
JC Fr
（3）
运动学补充关系
aC r
（4）
F
JC r
1 mr2 aC
2
r2
1 2 maC
代入（1）式，得
aC

2 3
gsin
LC ri mi vi
其中 vi 为第 I 个质点的绝对速度。
注意到 vi vC vir
则有 即有
LC ri mi ( vC vir ) ( mi ri)vC ri mi vir m rC vC ri mi vir 0 ri mi vir
这表明质点系对该点的动量矩守恒
2、当外力对某定轴的主矩等于零，质点系对该轴的动量矩守恒。
例如
M
e x

0
Lx C1
动量矩定理与动量矩守恒
质点系的动量矩定理
● 动量矩定理的守恒形式
谁最先到
？达顶点
第11章 动量矩定理
刚体定轴转动微分方程
刚体定轴转动微分方程
设刚体饶定轴z转动，如图所示，其
m1g
Jo&&
m1g
l 2


m2 g (l

d 2
)
化为标准形式，
m2g
&& m1l m2(2l d ) g 0
2Jo
摆的周期为
T 2 2
2J0
g m1l m2 (2l d )
刚体定轴转动微分方程
例题1
φ m1
m2
摆的周期为
T 2 2
ϕ
试求：钟摆作小摆动时的周期。
解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意
时刻转过的角度，规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
Jz&& M z
刚体定轴转动微分方程
例题1
Fy Fx
ϕ
解：分析受力，建立钟摆的运动微分 方程
Jo&&
m1g
l 2
sin

m2
g
(l

d 2
)sin
微小摆动时，有 sin
理论力学
第三篇 动力学
第11章 动量矩定理
第11章 动量矩定理
在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于 同一类型的方程，即均为矢量方程。
质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系 统（动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩 。两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量—— 力系的主矢和主矩。
动量矩定理与动量矩守恒
质点系的动量矩定理
动量矩定理的投影形式——质点系相对定轴的动量矩定理
比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点之
矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。
d (
dt i
ri mi vi )
i
ri Fie
d LO dt

M
e O
dLx dt

M
mg FB
maCx FA
maCy FB mg
JC

FB
l 2
cos0

FA
l 2
sin0
式中有五个未知量 (aCx , aCy , , FA, FB ) ，如果要
求得全部未知量，还需两个运动学补充方程。显然，这 一方法比较麻烦。
刚体平面运动微分方程
例题4
C*
相对特殊瞬心的动量矩定理：平面
本章主要研究： 1、质点系的动量矩定理 2、刚体定轴转动微分方程 3、刚体平面运动微分方程
第11章 动量矩定理
几个有意义的实际问题
？谁最先到 达顶点
？ 没有尾桨的直升飞机是怎么飞起来的
猫在自由下落的过程中是如何转身的
第11章 动量矩定理
动量矩定理与动量矩守恒 质点系的动量矩 质点系的动量矩定理
动量矩定理与动量矩守恒
质点系的动量矩
质点的动量对点O之矩为
LOi ri mi vi
称为第i个质点对点O的动量矩。 质点系的动量矩即是动量系的主矩，它是质点系中各质点 的动量对点O之矩的矢量和：
LO ri mi vi
i
动量矩定理与动量矩守恒
质点系的动量矩定理
● 质点系相对固定点的动量矩定理
vA
运动过程中，如果刚体的质心 C 到速
度瞬心 C* 的距离保持不变，则质点
系相对速度瞬心的动量矩对时间的导
数等于质点系外力对同一点的主矩。
vB
即
dLC
dt
i
MC (Fie )
注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l/2，故可应用相
对特殊瞬心的动量矩定理。这时，
LC JC
应用动量矩定理
dLO dt

M
e O
d (1 mR2 W vR) WR
dt 2
g
aP W
1 2
mR2

W g
aP
R

WR
其中 aP=R
aP

W m W
2g
动量矩定理与动量矩守恒
质点系的动量矩定理
● 动量矩定理的守恒形式
d LO dt

M
e O
1、若外力矩 MOe 0
则 LO C
● 质点系相对固定点的动量矩定理
i
d dt
(ri

mi
vi
)

i
ri Fie
i
ri Fii
注意到微分和求和运算可以互换，以及内力必成对出现，上
式可简化为 或者写成
d ( dt i
ri mi vi )
i
ri Fie
d LO dt

M
e O
质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用在该
刚体平面运动微分方程
n
maC Fie
i
n

JC
i
M
C
(Fie
)

或者
m&x&C Fxe m&y&C Fye

JC&& M c ( Fie )
这就是刚体平面运动的微分方程。
刚体平面运动微分方程
例题3
半径为 r 的匀质圆盘从静止开 始，沿倾角为θ的斜面无滑动的滚 下。
LC JC
刚体平面运动微分方程
xC yC
LC JC
其中JC为刚体对通过质心C 且与运动平面垂直的轴的转
动惯量， 为角速度。
当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面
力系时，对刚体平面运动，应用质心运动定理和相对质心
动量矩定理 ，有
n
maC Fie
i

n

JC i MC (Fie )
物理学中关于质点的动量矩定理：
d dt
(r mv)Hale Waihona Puke Baidu

r
F

MO
d dt
(ri

mi
vi
)

ri

Fie

ri
Fii
将等号两侧对整个质点系中所有质点求和，得到
i
d dt (ri mi vi ) i
ri Fie
i
ri Fii
动量矩定理与动量矩守恒
质点系的动量矩定理
d 2
）2

m（2 l

d ）2 2
第11章 动量矩定理
相对质心的动量矩定理
相对质心的动量矩定理
在质点系相对于惯性参考系中固定点（或固定 轴）的动量矩定理中，动量矩由系统的绝对运动 所确定。
这里讨论质点系相对于质点系的质心或通过质 心的动轴的动量矩定理，一方面是因为它有广泛 的应用价值，另一方面动量矩定理仍保持了简单 的形式。
i
ri Fie
d LO dt

M
e O
动量矩定理的积分形式
将上述二式积分，得到
n
ri

mi
v
' i

n
ri mi vi

0
ri

Fie
dt
i
i
LO2 LO1
0
ri

Fie
dt
质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介绍的冲量定理
一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。
LC ri mivir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。
质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 ri rC rr
所以有 LO rC mi vi ri mi vi
角速度与角加速度分别为和 。刚体
上第i个质点的质量为mi，到轴z的距离 为ri ，则刚体对定轴的动量矩为
Lz miri ri (miri2 ) J z
i
i
其中
J z miri2
i
称为刚体对轴 z 的转动惯量(moment of inertia)。
刚体定轴转动微分方程
质点系上的外力系对同一点的主矩。这就是质点系相对定点的
动量矩定理(theorem of the moment of momemtum with respect to a given point)。
动量矩定理与动量矩守恒
质点系的动量矩定理
动量矩定理的微分形式
d (
dt i
ri mi vi )
2J0
g m1l m2 (2l d )
根据物理学中关于转动惯量的定义
JO JO1 JO2
其中JO1和JO2分别为杆和圆盘对于转动轴 的转动惯量。
J O1

1 3
m1l 2
JO2 J2C mdO2C
d OC

l

d 2
JO2

J2C

m（2 l

d ）2 2
1 2
m（2
分别为 和 ，重物的加速度为 aP。
圆轮对O轴的动量矩
LO1＝J O

1 2
mR 2
重物对O的轴动量矩
LO 2

W g
vR
系统对O的轴总动量矩
LO＝LO1＋LO2

1 2
mR2＋W
g
vR
刚体定轴转动微分方程
例题2

O

解： 系统对O的轴总动量矩
LO＝LO1＋LO2

1 2
mR2＋W
g
vR