二元关系
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二元关系(Binary relation)
Relation 关系
注意，相关性，与指定的规则有关。如：
扑克牌中的方块ｋ与梅花ｋ，以同花关系来说是不相关的，而以 同点关系来说是相关的。
父子二人，以同辈关系来说是不相关的，以父子关系来说是相关 的。
以上例子都是二个对象相关的关系，称为二元关系，多个对
象之间的关系，称多元关系，我们常常把多元关系也化成二
注意，反对称性的相关矩阵中，若ａij＝１，ａji必为０， 但并没要求当ａij＝０时，ａji＝１，亦就是说ａij＝ａji＝０ 是允许的。而且，对称性与反对称性既不互斥，又不互补。 例如：恒等关系是既对称，又反对称的；而相关矩阵是的二 元关系，是既不对称，又不是反对称的。
Ａ上各类二元关系的性质
Relation 关系
Relation 关系
设Ｒ是Ａ上的二元关系，
1
ａＡ，（ａ，ａ）∈Ｒ，称这样的Ｒ为自反的二元关系.自反
的二元关系的相关矩阵对角元均为１，即ａii＝１ （ｉ＝１，
２，…
∈Ａ，（ａ，ａ）Ｒ，称这样的Ｒ为反
自反的二元关系。此Ｒ的相关矩阵对角元均为０，即ａii＝０ （ｉ＝１，２，…，ｎ）。
注意，不是自反的不一定反自反，不是反自反的不一定自反。 如果对角元中有０有１，就既不是自反的又不是反自反的。 自反性与反自及性是互斥的，但不互补。
1）（Ｒ∪Ｓ）c＝Ｒc∪Ｓc 2）（Ｒ∩Ｓ）c＝Ｒc∩Ｓc 3 4）（Ｒ－Ｓ）C＝ＲC－ＳC 5）（Ａ×Ｂ）C＝Ｂ×
6） ＝（Ａ× 7）（Ｓ·Ｔ）C＝ＴC·ＳC 8）（Ｒ·Ｔ）·Ｐ＝Ｒ·（Ｔ· 9）（Ｒ∪Ｓ）·Ｔ＝Ｒ·Ｔ∪Ｓ· 但：Ｓ·Ｔ≠Ｔ·
二元关系的运算
Relation 关系
二元关系的运算
Relation 关系
元关系来研究。方块ｋ与梅花ｋ，谁在前，谁在后都还是同
点的，这种二元关系是无序的；而父子关系，不能交换父与
子的次序，因此是有序的。
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
又如，ａ＋ｂ＝偶数，ａ与ｂ是无序的，常用［ａ，ｂ］表 示无序对，而ａ≤ｂ，ａ与ｂ是有序的二元关系，叫作ａ相 关于ｂ，记成ａｒｂ，常用（ａ，ｂ）表示有序对。而且， 无序的二元关系也可用有序的二元关系表示，无非（ａ，ｂ） 与（ｂ，ａ）都属于这种二元关系。
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
若Ｒ＝Ａ×B，称此二元关系为普遍关系，设Ａ＝｛ａ1，ａ 2，…，ａn｝，
Ｒ＝｛（ａi，ａj）｜ａi，ａj∈Ａ｝。若Ｒ＝｛（ａi，ａ i）｜ａi∈Ａ｝，称Ｒ为恒等关系，用ＩA表示，是单位矩阵，
二元关系(Binary relation)
若（ａ，ｂ），（ｂ，ｃ）∈Ｒ，则（a，ｃ）∈Ｒ，称这样 的Ｒ为传递的二元关系(Transitive relation)。 此Ｒ的相关矩阵满足（）∨＝１
Relation 关系
注意，ａij，ａjk中有一个不是１，ａik就可以任意。例如： Ａ＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝，Ｒ＝｛（ａ，ｂ）（ｃ，ｄ）｝
图３．１．１
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
由于直交积Ａ×Ｂ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝，二 元关系Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，ａｒｂ｝，可 见二元关系是直交积Ａ×Ｂ的子集。若Ｒ＝Ａ×Ｂ，则相关 矩阵元素全为１
1．由于二元关系是集合，也可以象集合一样进行运算。我们 用描述法表示二个二元关系的并，交，差，非和对称差的运 算：
二元关系的运算
设Ｒ1和Ｒ2都是Ａ到Ｂ的二元关系
Relation 关系
二元关系的运算
Relation 关系
设Ｒ1为Ａ到Ｂ的二元关系，Ｒ2
Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａｒ1ｂ，ａ∈Ａ，ｂ∈
Ｒ ＝｛（ｂ，ｃ）｜ｂｒ ｃ，ｂ∈Ｂ，ｃ∈
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
对不同的Ａ与Ｂ，在不少情况下，可以把Ａ∪Ｂ看成某
一有意义的集合，若Ｃ＝Ａ∪Ｂ，那么Ａ到Ｂ的二元关系可
以看成是Ｃ上的二元关系。
如：Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ／ｂ，ａ，ｂ∈Ｎ｝是自然数集Ｎ上
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
Ａ上各类二元关系的性质
Relation 关系
2
若（ａ，ｂ）∈Ｒ，（ａ≠ｂ），必有（ｂ，ａ）∈Ｒ，称这 样的Ｒ为对称的二元关系（Symmetric relation），此Ｒ的相 关矩阵是对称阵，即ａij＝ａji 若（ａ，ｂ）∈Ｒ （ａ≠ｂ）， 必然（ｂ，ａ）Ｒ，称这样的Ｒ为反对称的二元关系，此Ｒ 的相关矩阵是反对称的，即ａij∧ａji ＝０（ｉ≠ｊ）
2
2
则Ｒ1·Ｒ2是由Ａ到Ｃ的二元关系，称为Ｒ1，Ｒ2
Ｒ ＝｛（ａ，ｃ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ ａｎｄ （ｂ，ｃ）∈
3
1
Ｒ｝ 2
记Ｒ3＝Ｒ1·Ｒ2
二元关系的运算
RΒιβλιοθήκη Baidulation 关系
３．把逆关系也看成是一种运算，那么与其他一些运算的组合可以有一些 结论。设Ｒ，Ｓ是Ａ到Ｂ的二元关系，Ｔ是Ｂ到Ｃ的二元关系，Ｐ是Ｃ到
Relation 关系
把二元关系看成函数关系，Ｒ＝｛（ａ，ｂ）
｜ａｒｂ，ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝Ａ称为Ｒ的定义域，记Ａ＝ｄ ｏｍＲ，Ｂ称为Ｒ的值域，
记Ｂ＝Ｒａｎｇｅ Ｒ。当定义域与值域交换， ＝｛（ｂ， ａ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ，ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝，称为Ｒ的逆关 系，记为ＲC
二元关系的运算
Relation 关系
Δ二元关系的表示：
因为二元关系本身也是集合，也可用穷举法，描述法来表示，
用穷举法：
Ｒ＝｛（张三，铅球），（张三， 足球），（李四，１００米）， （李四，跳高），（王五，跨 栏），（赵六，１００米）｝是 运动会的报名表，用表格表示一 目了然。
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
Δ二元关系：按照某种规定，定义了一个有序对（ａ，ｂ）
的集合Ｒ，其中ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，称Ｒ为Ａ到Ｂ的一个二元
注意，二元关系是指满足某规律的有序对的全体。Ｒ＝ ｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，ａｒｂ｝其中ａｒｂ读作
当Ａ＝Ｂ时，Ｒ是Ａ到Ａ的二元关系，称为Ａ上的二元关 系。
Relation 关系
注意，相关性，与指定的规则有关。如：
扑克牌中的方块ｋ与梅花ｋ，以同花关系来说是不相关的，而以 同点关系来说是相关的。
父子二人，以同辈关系来说是不相关的，以父子关系来说是相关 的。
以上例子都是二个对象相关的关系，称为二元关系，多个对
象之间的关系，称多元关系，我们常常把多元关系也化成二
注意，反对称性的相关矩阵中，若ａij＝１，ａji必为０， 但并没要求当ａij＝０时，ａji＝１，亦就是说ａij＝ａji＝０ 是允许的。而且，对称性与反对称性既不互斥，又不互补。 例如：恒等关系是既对称，又反对称的；而相关矩阵是的二 元关系，是既不对称，又不是反对称的。
Ａ上各类二元关系的性质
Relation 关系
Relation 关系
设Ｒ是Ａ上的二元关系，
1
ａＡ，（ａ，ａ）∈Ｒ，称这样的Ｒ为自反的二元关系.自反
的二元关系的相关矩阵对角元均为１，即ａii＝１ （ｉ＝１，
２，…
∈Ａ，（ａ，ａ）Ｒ，称这样的Ｒ为反
自反的二元关系。此Ｒ的相关矩阵对角元均为０，即ａii＝０ （ｉ＝１，２，…，ｎ）。
注意，不是自反的不一定反自反，不是反自反的不一定自反。 如果对角元中有０有１，就既不是自反的又不是反自反的。 自反性与反自及性是互斥的，但不互补。
1）（Ｒ∪Ｓ）c＝Ｒc∪Ｓc 2）（Ｒ∩Ｓ）c＝Ｒc∩Ｓc 3 4）（Ｒ－Ｓ）C＝ＲC－ＳC 5）（Ａ×Ｂ）C＝Ｂ×
6） ＝（Ａ× 7）（Ｓ·Ｔ）C＝ＴC·ＳC 8）（Ｒ·Ｔ）·Ｐ＝Ｒ·（Ｔ· 9）（Ｒ∪Ｓ）·Ｔ＝Ｒ·Ｔ∪Ｓ· 但：Ｓ·Ｔ≠Ｔ·
二元关系的运算
Relation 关系
二元关系的运算
Relation 关系
元关系来研究。方块ｋ与梅花ｋ，谁在前，谁在后都还是同
点的，这种二元关系是无序的；而父子关系，不能交换父与
子的次序，因此是有序的。
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
又如，ａ＋ｂ＝偶数，ａ与ｂ是无序的，常用［ａ，ｂ］表 示无序对，而ａ≤ｂ，ａ与ｂ是有序的二元关系，叫作ａ相 关于ｂ，记成ａｒｂ，常用（ａ，ｂ）表示有序对。而且， 无序的二元关系也可用有序的二元关系表示，无非（ａ，ｂ） 与（ｂ，ａ）都属于这种二元关系。
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
若Ｒ＝Ａ×B，称此二元关系为普遍关系，设Ａ＝｛ａ1，ａ 2，…，ａn｝，
Ｒ＝｛（ａi，ａj）｜ａi，ａj∈Ａ｝。若Ｒ＝｛（ａi，ａ i）｜ａi∈Ａ｝，称Ｒ为恒等关系，用ＩA表示，是单位矩阵，
二元关系(Binary relation)
若（ａ，ｂ），（ｂ，ｃ）∈Ｒ，则（a，ｃ）∈Ｒ，称这样 的Ｒ为传递的二元关系(Transitive relation)。 此Ｒ的相关矩阵满足（）∨＝１
Relation 关系
注意，ａij，ａjk中有一个不是１，ａik就可以任意。例如： Ａ＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝，Ｒ＝｛（ａ，ｂ）（ｃ，ｄ）｝
图３．１．１
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
由于直交积Ａ×Ｂ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝，二 元关系Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，ａｒｂ｝，可 见二元关系是直交积Ａ×Ｂ的子集。若Ｒ＝Ａ×Ｂ，则相关 矩阵元素全为１
1．由于二元关系是集合，也可以象集合一样进行运算。我们 用描述法表示二个二元关系的并，交，差，非和对称差的运 算：
二元关系的运算
设Ｒ1和Ｒ2都是Ａ到Ｂ的二元关系
Relation 关系
二元关系的运算
Relation 关系
设Ｒ1为Ａ到Ｂ的二元关系，Ｒ2
Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａｒ1ｂ，ａ∈Ａ，ｂ∈
Ｒ ＝｛（ｂ，ｃ）｜ｂｒ ｃ，ｂ∈Ｂ，ｃ∈
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
对不同的Ａ与Ｂ，在不少情况下，可以把Ａ∪Ｂ看成某
一有意义的集合，若Ｃ＝Ａ∪Ｂ，那么Ａ到Ｂ的二元关系可
以看成是Ｃ上的二元关系。
如：Ｒ＝｛（ａ，ｂ）｜ａ／ｂ，ａ，ｂ∈Ｎ｝是自然数集Ｎ上
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
Ａ上各类二元关系的性质
Relation 关系
2
若（ａ，ｂ）∈Ｒ，（ａ≠ｂ），必有（ｂ，ａ）∈Ｒ，称这 样的Ｒ为对称的二元关系（Symmetric relation），此Ｒ的相 关矩阵是对称阵，即ａij＝ａji 若（ａ，ｂ）∈Ｒ （ａ≠ｂ）， 必然（ｂ，ａ）Ｒ，称这样的Ｒ为反对称的二元关系，此Ｒ 的相关矩阵是反对称的，即ａij∧ａji ＝０（ｉ≠ｊ）
2
2
则Ｒ1·Ｒ2是由Ａ到Ｃ的二元关系，称为Ｒ1，Ｒ2
Ｒ ＝｛（ａ，ｃ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ ａｎｄ （ｂ，ｃ）∈
3
1
Ｒ｝ 2
记Ｒ3＝Ｒ1·Ｒ2
二元关系的运算
RΒιβλιοθήκη Baidulation 关系
３．把逆关系也看成是一种运算，那么与其他一些运算的组合可以有一些 结论。设Ｒ，Ｓ是Ａ到Ｂ的二元关系，Ｔ是Ｂ到Ｃ的二元关系，Ｐ是Ｃ到
Relation 关系
把二元关系看成函数关系，Ｒ＝｛（ａ，ｂ）
｜ａｒｂ，ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝Ａ称为Ｒ的定义域，记Ａ＝ｄ ｏｍＲ，Ｂ称为Ｒ的值域，
记Ｂ＝Ｒａｎｇｅ Ｒ。当定义域与值域交换， ＝｛（ｂ， ａ）｜（ａ，ｂ）∈Ｒ，ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ｝，称为Ｒ的逆关 系，记为ＲC
二元关系的运算
Relation 关系
Δ二元关系的表示：
因为二元关系本身也是集合，也可用穷举法，描述法来表示，
用穷举法：
Ｒ＝｛（张三，铅球），（张三， 足球），（李四，１００米）， （李四，跳高），（王五，跨 栏），（赵六，１００米）｝是 运动会的报名表，用表格表示一 目了然。
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
二元关系(Binary relation)
Relation 关系
Δ二元关系：按照某种规定，定义了一个有序对（ａ，ｂ）
的集合Ｒ，其中ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，称Ｒ为Ａ到Ｂ的一个二元
注意，二元关系是指满足某规律的有序对的全体。Ｒ＝ ｛（ａ，ｂ）｜ａ∈Ａ，ｂ∈Ｂ，ａｒｂ｝其中ａｒｂ读作
当Ａ＝Ｂ时，Ｒ是Ａ到Ａ的二元关系，称为Ａ上的二元关 系。