双曲线的简单性质课件ppt(北师大版选修2-1)

*渐近线
－＝1(a＞0，b＞0) F1(－c,0)，F2(c,0)
－＝1(a＞0，b＞0) F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c x≥a或x≤－a，y∈R (－a,0)，(a,0)
y≥a或y≤－a，x∈R
(0，－a)，(0，a)
对称轴： x轴、y轴 、对称中心：坐标原点 实轴长＝ 2a ，虚轴长＝ 2b x y b x y a a± ＝0或y＝± x b a b± ＝0或y＝± x a b e＝(e＞1)
[思路点拨]
由双曲线的几何性质，列出关于a、b、c
的方程，求出a、b、c的值．
[精解详析]
x2 y 2 y2 (1)设双曲线的标准方程为 a2－b2＝1 或a2
x2 －b2＝1(a>0，b>0)． c 5 2 由题意知 2a＝16，a＝4，c ＝a2＋b2，解得 c＝10，a＝ x2 y2 y 2 x2 8，b＝6，所以双曲线的标准方程为64－36＝1 或64－36＝1.
[一点通]
由双曲线的标准方程，求双曲线的有关
x2 y2 性质的步骤是：先将双曲线方程化为标准形式 a2 － b2 ＝
y2 x2 1或a2－b2＝1，再确定a，b的值(注意它们的分母分别为
a2，b2，而不是a，b)，进而求出c，再对照双曲线的几何 性质得到相应的答案．
x2 y2 1．已知双曲线 － 2＝1(b>0)的实轴的一个端点为 A1，虚轴的 16 b 一个端点为 B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是 x2 y2 A. － ＝1 16 25 x2 y2 B. － ＝－1 16 25 ( )
求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、
实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程． [思路点拨] 研究其性质． 先将双曲线的形式化为标准方程，再
[精解详析] y2 － 4 ＝1，
将双曲线方程4x2－y2＝4化为标准方程x2
∴a＝1，b＝2，∴c＝ 5. 因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－ 5 ，0)， F2( 5，0)； 实半轴长是a＝1，虚半轴长是b＝2； c 5 离心率e＝a＝ 1 ＝ 5； b 渐近线方程为y＝± x＝± 2x. a
离心率
1椭圆有四个顶点，而双曲线有两个顶点． x2 y2 2．双曲线有两条渐近线，双曲线 a2 － b2 ＝1的渐近线方 x2 y2 程为a2－b2＝0(a>0，b>0)． 3．双曲线的中心、虚轴的一个端点和实轴的一个端点 构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足关系式c2 ＝a2＋b2.
[例1]
理解教材 新知
§3
知识点
第 三 章
考点一 把握热点 考向 考点二 考点三 应用创新演练
3.2
如图是阿联酋阿布扎比国家展览中心
(ADNEC)．阿布扎比是阿联酋的首都，这
个双曲线塔形建筑是中东最大的展览中心． 它的形状就像一条双曲线． 这是双曲线在建筑学上的应用，要想让双曲线更多更 好的为生活、工作所应用，我们必须研究双曲线的性质．
3 2 1 2 故所求双曲线方程为 y － x ＝1. 4 3
Байду номын сангаас
x2 y2 (2)设所求双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)．
2 2 5 c2 a ＋b b2 25 b 4 2 ∵e＝3，∴e ＝a2＝ a2 ＝1＋a2＝ 9 ，∴a＝3.
2 9 a ＝ ， 9 12 4 2－ 2 ＝1，解得 a b b2＝4. x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 9 － 4 ＝1. 4
[一点通]
x2 y2 双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0)中有三类特殊
点：焦点(± c,0)、顶点(± a,0)、虚轴的两个端点(0，± b)， 求双曲线的离心率的关键是找出双曲线中 a、c 的关系， 在用几何图形给出的问题中要善于利用几何图形的性质 分析解决．
x2 y2 5．双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点为 F1、F2，若 a b P 为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的 取值范围为 A．(1,3) C．(3，＋∞) B．(1,3] D．[3，＋∞) ( )
解析：由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＝2|PF2|， ∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a. ∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|(当 P 为双曲线 右顶点时取等号)． ， c ∴6a≥2c.∴a≤3. 又 e>1，∴1<e≤3.
答案：B
6．双曲线的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，则双曲 线的离心率为________．
解析：如图，点 N 为 MF2 的中点，且在双 曲线上，利用双曲线的定义即可求解． |F1N|＝ 3c，|NF2|＝c. 又∵|NF1|－|NF2|＝2a， c 2 即 3c－c＝2a.∴e＝a＝ ＝ 3＋1. 3－1 答案： 3＋1
1．由已知双曲线的方程求双曲线的性质时，注意首先应将
方程化为标准形式，再计算，并要特别注意焦点所在的位置，
解析：由题意得 4a＝2b＋2c，即 b＝2a－c， 则 b2＝4a2－4ac＋c2＝c2－a2， c 5 ∴5a－4c＝0，e＝a＝4.
5 答案：4
x2 y2 7．双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为 F1、 F2， F1F2 为边作等边△ MF1F2.若双曲线恰好平分 以 三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．
x2 y2 (2)设双曲线方程为：a2－b2＝1(a>0，b>0)． 由已知得 a＝ 3，c＝2， ∴b2＝c2－a2＝1. x2 2 ∴双曲线的标准方程为： 3 －y ＝1.
[一点通]
根据双曲线的性质求双曲线的标准方
程时，一般采用待定系数法，首先要根据题目中给
出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方 程的形式，找出a、b、c的关系，列出方程求值，从 而得到双曲线的标准方程．
4．(1)已知双曲线的焦点在 y 轴，实轴长与虚轴长之比为 2∶3， 且经过 P( 6，2)，求双曲线方程； 5 (2)已知焦点在 x 轴上，离心率为3，且经过点 M(－3，2 3) 的双曲线方程． y2 x2 解：(1)设双曲线方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)． a b
a 2 b＝3， 依题意可得 42－ 62＝1， a b 2 4 a ＝ . 3 ⇒ b2＝3.
∴a＝4，b＝3，c＝5. ∴实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3， c 5 焦点坐标(0，－5)，(0,5)；离心率e＝a＝4， 4 渐近线方程为y＝± x. 3
[例 2]
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
5 (1)实轴长为 16，离心率为 ； 4 (2)双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为( 3，0)．
问题1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？ 提示：坐标轴 原点．
问题2：双曲线的离心率越大，双曲线就越开阔吗？
b 提示：是．离心率越大，a越大，双曲线就越开阔．
双曲线的性质
标准方程
x2 y2 a2－b2＝1(a＞0，b＞0)
y2 x2 a2－b2＝1(a＞0，b＞0)
图像
标准方程 焦点 焦距 范围 性 质 顶点 对称性 轴长
x2 y2 x2 y2 C. － ＝1 D. － ＝－1 16 9 16 9 解析：由双曲线方程知A1(4,0)，B1(0，b)，由|A1B1|
＝5得42＋b2＝25，∴b＝3. x2 y2 故双曲线方程为：16－ 9 ＝1. 答案：C
2．求双曲线16x2－9y2＝－144的实半轴长、虚半轴长、 焦点坐标、离心率和渐近线方程． y2 x2 解：把方程化为16－ 9 ＝1，
3．如果双曲线的两个焦点分别为 F1(－3,0)，F2(3,0)，离心率 e ＝ 3，则该双曲线的方程为________． x2 y2 解析：设双曲线方程为：a2－b2＝1(a>0，b>0)．
c ∵a＝ 3，c＝3， ∴a＝ 3，b2＝6， x2 y 2 双曲线方程为： 3 － 6 ＝1. x2 y2 答案： 3 － 6 ＝1
[例3]
已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两
个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求 双曲线C的离心率． [思路点拨] 确定四边形中为60°的内角，通过
解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率．
[精解详析]
x2 y2 设双曲线方程为a2－b2＝
1(a>0，b>0)，如图所示，由于在双曲线中 c>b，故在 Rt△ OF1B2 中，只能是∠OF1B2 b ＝30° ，所以 c＝tan 30° ，c＝ 3b，所以 a＝ c 3 6 2b，离心率 e＝a＝ ＝ 2 . 2
防止将焦点坐标和渐近线方程写错． 2．注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率 与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手． 3．椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，
当A>0，B>0且A≠B时表示椭圆，当AB<0时表示双曲线．