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数学建模的简单实例ppt课件
数学建模的简单实例
§1.1 方桌问题
问题：适当变换方桌的方位，能否将方桌放稳？
分析：问题的目标是“放
A
A
D
稳”。“放稳”可以用各
脚离地面的高度这一数量
B
指标来表达。于是，引入
各脚离地面的高度的数学
记号。
B
C
C
1
依次记 A、B、fc fD
A
D
fA( ) fB ( ) fC ( ) fD ( )
2
注意到，在任何情况下，总有三只脚能同时着地，且这三 只脚中总有两只脚处在对角位置上，于是我们记：
f ( ) fB( ) fD( ) g( ) fA( ) fC ( )
则 有 , f ( ) g( ) 0
仓库;可关闭2号或3号仓库。 公司不主张仓库的个数 超过4个。 由于向客户供货的运费和仓库改建的费用
均由公司负担， 故需建模为公司选择方案。
若有可能， 应将所建模型推广为适应于类似地更一般 情 形 下 的 方 案 选 择。
13
问题分析
公司的目标是费用尽可能小
费用是怎样构成的
工厂到仓库
运输费用
工厂到客户 问题分析
0
cij Ai到B j及Ck的单位运输费;
d jk B j到Ck的单位运输费;
e1 B1扩建的月增费; e5 B5的月增费; e2 , e3 B2 , B3变更时发生的费用;
保留B2 关闭B2
;
xij
Ai
到B
j
及C
的运
k
量;
新建B5 不建B5
;
y jk
B
j
到C
的运
§1.1 方桌问题
问题：适当变换方桌的方位，能否将方桌放稳？
分析：问题的目标是“放
A
A
D
稳”。“放稳”可以用各
脚离地面的高度这一数量
B
指标来表达。于是，引入
各脚离地面的高度的数学
记号。
B
C
C
1
依次记 A、B、fc fD
A
D
fA( ) fB ( ) fC ( ) fD ( )
2
注意到，在任何情况下，总有三只脚能同时着地，且这三 只脚中总有两只脚处在对角位置上，于是我们记：
f ( ) fB( ) fD( ) g( ) fA( ) fC ( )
则 有 , f ( ) g( ) 0
仓库;可关闭2号或3号仓库。 公司不主张仓库的个数 超过4个。 由于向客户供货的运费和仓库改建的费用
均由公司负担， 故需建模为公司选择方案。
若有可能， 应将所建模型推广为适应于类似地更一般 情 形 下 的 方 案 选 择。
13
问题分析
公司的目标是费用尽可能小
费用是怎样构成的
工厂到仓库
运输费用
工厂到客户 问题分析
0
cij Ai到B j及Ck的单位运输费;
d jk B j到Ck的单位运输费;
e1 B1扩建的月增费; e5 B5的月增费; e2 , e3 B2 , B3变更时发生的费用;
保留B2 关闭B2
;
xij
Ai
到B
j
及C
的运
k
量;
新建B5 不建B5
;
y jk
B
j
到C
的运
数学建模案例PPT课件
第12页/共39页
模型构成
2．考虑n块积木的叠放情况
为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作一 个整体且不再移动它们之间的相对位置，而把增加的积木插 入在最底下的积木下方。于是，我们的问题又归结为两块积 木的叠放问题，不过，这次是质量不同的两块积木叠放问题。
这个处理可以推广到n+1块积木的叠放问题：即假 设已经叠放好n（n>1）块积木后，再加一块积木的怎 样叠放问题。
200
学生人数比例 100/200 60/200 40/200
席位分配
10
6
4
20
按比例分配方法:分配人数=学生人数比例总席位
第17页/共39页
若出现学生转系情况：
系名
甲
乙
学生数
103
63
学生人数比例 103/200 63/200
按比例分配席位 10.3
6.3
按惯例席位分配 10
6
丙
总数
34
200
对只有两块积木的叠放，注
意到，此时使叠放后的积木
平衡主要取决于上面的积木，
而下面的积木只起到支撑作
用。假设在叠放平衡的前提
下，上面的积木超过下面积
x
木右端的最大前伸距离为x。
上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积 木的长度是1)，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离 为1/2。
Q 8h1 d
显然Q/Q'可以反映双层玻璃在减少热量损失 的功效,它是h的函数.
从图形考察它的取值情况.
第6页/共39页
此函数无极小值,从图中可知: 当h从0变大时,Q/Q'迅速下降,但h超过4后下
降变慢. h不易选择过大,以免浪费材料!
数学建模简单13个例子 ppt课件
数学建模简单13个例子
1、从包汤圆（饺子）
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员， 护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇 合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎 样航行，才能与航母汇合。
数学建模简单13个例子
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 |BP|2a2|AP|2 即：
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，DFra bibliotek即T 至少应当达到 （L数+学建D模）简单/13v个。例子
数学建模简单13个例子
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么?
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人 同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两 人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运 动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在 两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
1、从包汤圆（饺子）
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员， 护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇 合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎 样航行，才能与航母汇合。
数学建模简单13个例子
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
航母
则 |BP|2a2|AP|2 即：
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，DFra bibliotek即T 至少应当达到 （L数+学建D模）简单/13v个。例子
数学建模简单13个例子
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么?
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人 同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两 人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运 动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在 两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
数学建模讲座PPT课件
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 xk, yk=0,1,2,3; yk~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2, sk=(xk , yk)~过程的状态 S ~ 允许状态集合
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）； • 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以
时间）列出数学式子（二元一次方程）； • 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20公里）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
3
法 允许状态S ~ 10个 点
允许决策D ~ 移动1或2格; 2
k奇,左下移; k偶,右上移.
d1, d11给出安全渡河方案
1 d11
s1
d1
评注和思考
0sn+1 1
2
3x
规格化方法, 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况
习题
• 模仿这一案例，作下面一题： 人带着猫、鸡、米过河，船除需要
人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之 一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃 米。试设计一安全过河方案，并使渡河 次数尽量地少。
越来越受到人们的重视。
数学建模
如虎添翼
计算机技术
知识经济
建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题 椅子能在不平的地面上放稳吗？
模 1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一人点，四
型 假
数学建模简单13个例子讲义.
支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结
束。问共需进行多少场比赛？
一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 1 1 36 2 2 2 2 2
逆向思维：
每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么? 解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两 人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为 两人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向 运动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人 在两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
1、从包汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S V s v s v
…
s v
( 共 n个 )
定性分析
根据题意，A点的坐标为(-300，0)， 单位为km．台风中心的运动轨迹为直 线BC，这里的∠CBA＝450，当台风中 心在运动过程中处于以A为圆心、半径 为250 km的圆内(即MN上)时，气象台 A所在地区将遭受台风的影响。 因为圆的方程为： 直线BC的方程为： 当台风中心处于圆内时，有： 解得 其中参数t 为时间(单 位为h)。
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。 为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2。 其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应 时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。 L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间 t1早有测 算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度 v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可 另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线拟 合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来 黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。 第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停 得住车。 第二步，黄灯亮的时间应当让已过线 D 的车顺利穿过马路， L 即T 至少应当达到 （L+D）/v。
数学建模案例分析PPT课件
25.5
29
31.4 33.2
第三产业比重 44.4 46.5
47.8
49.2
50
50.5
2021/2/6
-
15
匹配度的计算步骤：
GDP与产业结构匹配度建模步骤： l 参阅国际匹配标准，拟合与我国GDP水平相匹配的产业结构标准值：
y32.6lnx31.6
y26.0lnx11.0 y18.6lnx79.37
2021/2/6
-
10
区域经济发展分析——东、中、西部
1995
2000
2008
GDP比重 财政收入占比
东部 中部 西部 东部 中部 西部 东部 中部 西部 49.0 37.6 52.8 52.8 33.6 13.6 58.2 27.4 14.4 5.3 4.9 5.5 7.1 5.6 6.6 9.8 6.9 9.2
Statistics
建模大赛案例分析
-
1
Topic
我国经济增长与经济结构、财政收入、居民收入关系之研究
2021/2/6
-
2
我国经济增长与经济结构、财政收入居 民收入关系之研究
2021/2/6
赛题要求
> 论证经济增长、经济结构、与财政收入、居
民收入的匹配度. > 分析经济增长、财政收入、经济结构、与居
l目标——研究各经济指标对经济增长的影响。 l 变量选择
被解释变量：GDP 解释变量：财政收入、农村居民人均纯收入、城镇居 民人均可支配收入、经济结构
2021/2/6
-
30
二、模型构建方法
l模型一：GDP和收入——偏最小二乘回归（Partial Least-Squares Regression）。 l 模型二：经济增长和产业结构模型——多元回归
数学建模简单13个例子40页PPT
END
数阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
数学建模大学课件5 10页PPT文档
你建模的框架焉已用经牛基刀本？搭好了。
例5 将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可 以延伸多大距离。
设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 (n－1) 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。
Zn (n＋1)
由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：
n
1/2-Zn= (n－1) Zn
§1.5 一些简单实例
•例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比间平？请时思提考前一了下十，解载天十会 段 开 达 五分本合路5会分了 着 他 分分钟点的合钟题换 显。 他 就 钟钟，缘点。然到一假 开 不 时。解又故，是种如 往 会 间而似家从，故答由想此他 会 提 从乎会故相于，人法的 合 前 何中合由遇节条提，妻 地 回 而问点相时省隐前件问子 点 家 来返遇他了此了含不题回点已遇 ， 了 ？从三相到步人就到 那 。相够了十遇会行遇迎他 么 提分哦共哪点合了点刃后 这 前钟这点二步到。而仍 一 的些到一需十。行假了设多长？时
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
（请自己据此给出严格证明）
例5 将形状质量相同的砖块一一向右往外 叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可 以延伸多大距离。
设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 (n－1) 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。
Zn (n＋1)
由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有：
n
1/2-Zn= (n－1) Zn
§1.5 一些简单实例
•例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比间平？请时思提考前一了下十，解载天十会 段 开 达 五分本合路5会分了 着 他 分分钟点的合钟题换 显。 他 就 钟钟，缘点。然到一假 开 不 时。解又故，是种如 往 会 间而似家从，故答由想此他 会 提 从乎会故相于，人法的 合 前 何中合由遇节条提，妻 地 回 而问点相时省隐前件问子 点 家 来返遇他了此了含不题回点已遇 ， 了 ？从三相到步人就到 那 。相够了十遇会行遇迎他 么 提分哦共哪点合了点刃后 这 前钟这点二步到。而仍 一 的些到一需十。行假了设多长？时
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
（请自己据此给出严格证明）
数学建模案例PPT课件
第12页/共41页
建模示例五：轮廓模型
轮廓模型是以量纲模型为基础，利用量 的比例关系而构造简单数学模型的一种方法。 因为这种比例关系比较粗糙，因而成为轮廓 模型。
（货物的包装成本）在超市中可以看到许 多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包装 的形式出售，同一种商品的包装也经常有大 小不同的规格，出售的价格也高低不同。下 表是一些例子。
第24页/共41页
四、数学建模的特点
第25页/共41页
五、数学建模的分类
1）按变量的性质分：
离散模型
确定性模型
线性模型
连续模型
随机性模型
非线性模型
单变量模型 多变量模型
2）按时间变化对模型的影响分
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
第26页/共41页
3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。
下面计算南北方向车辆在此路口滞留 的时间y1.
第9页/共41页
在一个周期中,从南北方向到达路口的车辆数为V,该
周期中南北方向亮红灯的比率是t/T,需停车等待的车辆
数是V t/T.这些车辆等待时间最短为0(刚停下,红灯就转
换为绿灯),最长为t(到达口时,绿灯刚转换为红灯),由假
设2"车流量均匀"可知,它们的平均等待时间是t/2.由此可
➢ 1987年改为 Mathematical Contest in Modeling, 其缩写
【数值模拟】
H V
取"问题背景"中调查的数据,即T=88,H=30,V=24,
数学建模范例.ppt
nmin n nmax
nmin
[ ] 1,
ln(1 v2 / c)
nmax
[ ]1
ln(1 v1 / c)
4. 进一步的考虑
m~衣物重量
每轮脱水后衣物含水量c=am
浸泡衣物所需水量d=bm 洗衣机最小注入水量v0 洗衣机水量下限v1=v0+bm 用以下实验数据测定a,b
m(kg) c(l) d(l)
基本假设
• 每轮漂洗后污物均匀地溶于水中；
• 每轮脱水后衣物含水量为~第k轮加水量 ；xk~第k轮脱水后污物量 (k=1,2,…)
每轮脱水 前后污物 在水中的 浓度不变
x0 x1 , x1 x2 , xn1 xn
u1 c u2 c c
un1 c c
xn
F
K
Eθ C O D
B
N
M 墙
解法：在搬运家具时，为了顺利过门，
家具的两个边KM、KN紧贴C、D， 点
K 的 运 动 轨 迹 是 以 CD 为 直 径 的 半 圆 周 ， A点到CD的距离始终不大于AK+KO (O
是CD中点)．而AK+KO 0.82<0.9．
节水洗衣机
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣 在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非 常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣 物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水——漂 洗——脱水——加水——漂洗——脱水…（称“加 水——漂洗——脱水”为运行一轮）。请为洗衣机 设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等）， 使在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。 选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机 的运行情况，对你的模型作出评价。
2. 问题简化
数学建模的简单实例24页PPT
数学建模的简单实例
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。·约翰逊
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。·约翰逊
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
数学建模实例ppt课件
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰；
（2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
28
湖泊污染问题分析
设湖水在t时的污染程度为C(t)， X
即每立方米受污染的水中含有Cm3 A
的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用
23
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
24
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： x 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
25
追线模型：
x
d2y dx2
k
1 dy 2 dx
由已知，T (0) 37 , T (t) 29 , T (t 1) 27 可得微分方程的特解：
T (t) 16 4 t 21 3
由T (t) 29，代入解得 t 2.4094
因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
图1 尸体的温度
下降曲线
4
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，
19
（1）问题分析与模型的建立
1、放射性衰变的这种性质还可描述为“放射性物 质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量 成比例”。而C14的比例数为每年八千分之一。
2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所
以，我们问题实际上就是：“这人死去多久了？”
若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12
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此问题是某气象台所遇到的实际问题，为气象台A为坐标原点建立 平而直角坐标系，设台风中心为B， 如图
根据题意，A点的坐标为(-300，0)， 单位为km．台风中心的运动轨迹为直 线BC，这里的∠CBA＝450，当台风 中心在运动过程中处于以A为圆心、 半径为250 km的圆内(即MN上)时， 气象台A所在地区将遭受台风的影响。
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么?
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人 同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两 人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运 动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在 两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
V比 nv大多少?
定量分析
假设
1. 皮的厚度一样 2. 汤圆(饺子) 的形状一 样
模型
R ~大皮 的半径；r ~小皮的半
径
S ns
S k1R2 , V k2 R3
s k r2, v k r3
1
2
V kS 3/2 v ks3/2
V n3/2v
应用 V n(nv) nv V是 nv是 n倍
若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 公斤1.4馅
返
2、杀羊方案
问题杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，
问各天分别杀几只？
分析： 建模：
1). 这是一个有限问题，解决此类问题的一 类方法是枚举，你可以试试。 2). 依题意，设第 i 天杀 2ki 1 (ki为自然数) 只，
x y l
y
z
m
x z n
由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根电线 的电阻。
说明：此问题的难点也是可贵之处是用方程 “观点”、”立场”去分析，用活的数学思想使实 际问题转到新创设的情景中去。
返回
6、比赛场次
37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两 支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结 束。问共需进行多少场比赛？
则所提问题变为在自然数集上求解方程
7
(2ki 1) 26
i 1
于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型
求解： 用反证法容易证明本问题的解不存在。
返回
3、相遇问题
某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？
出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上
要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。
停车是需要时间的，在这段时间内，车辆
仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在
离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽
管它没被画在地上），见图。对于那些黄
D
灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
L
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确
1、从包汤圆（饺子）
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
vv
v
V
V和 nv 哪个大? 定性分析
换显一然种是想由法于，节问省题了就从迎 刃相而遇解点了到。会假合如点他，的又妻从子会遇合 到 点点故他，返，后那回故仍么相由似载这遇相乎着一点遇条他天这点件开他一到不往就段会够会不路合哦合会的点。地提缘需。 前开回5分家钟了。。而提此前人的提十前分了钟三时 间十从分何钟而到来达？会合点，故相遇 时他已步行了二十五分钟。
因为圆的方程为：
直线BC的方程为：
当台风中心处于圆内时，有：
其中参数t 为时间(单 位为h)。
解得
所以，大约在2h以后气象台A所在地区将会遭 受台风的影响，持续时间大约为6．6h。
8、黄灯应当亮多久
交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态— —亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。
设想一下黄灯的作用是什么，不难看
解法二： 以时间t为横 坐标，以沿上山路线从山下旅 店到山顶的路程x为纵坐标， 从山下到山顶的总路程为d;
严格的数学论证： 令
思考题：有一边界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃，
妹妹指着蛋糕上的一点P，让哥哥过点P切开一人一半，
能办到吗?
返回
5、测量电阻
在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶 楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因 此三根电线的长度均未知。现在工人师傅为了在顶 楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻。如 何测量出这三根电线的电阻?
一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 1 1 36 2 2 2 22
逆向思维： 每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
返回
7、气象预报问题
在气象台A的正西方向300 km处有一台风中心，它 以40 km/h的速度向东北方向移动；根据台风的强度， 在距其中心250 km以内的地方将受到影响，问多长时间 后气象台所在地区将遭受台风的影响?持续时间多长?
定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2。
其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时
间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。
L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测
算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度
v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可
某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路 返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至 少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一 人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下， 两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出 了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时 间，两人必会在途中相遇。
根据题意，A点的坐标为(-300，0)， 单位为km．台风中心的运动轨迹为直 线BC，这里的∠CBA＝450，当台风 中心在运动过程中处于以A为圆心、 半径为250 km的圆内(即MN上)时， 气象台A所在地区将遭受台风的影响。
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么?
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人 同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两 人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运 动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在 两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
V比 nv大多少?
定量分析
假设
1. 皮的厚度一样 2. 汤圆(饺子) 的形状一 样
模型
R ~大皮 的半径；r ~小皮的半
径
S ns
S k1R2 , V k2 R3
s k r2, v k r3
1
2
V kS 3/2 v ks3/2
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应用 V n(nv) nv V是 nv是 n倍
若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 公斤1.4馅
返
2、杀羊方案
问题杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，
问各天分别杀几只？
分析： 建模：
1). 这是一个有限问题，解决此类问题的一 类方法是枚举，你可以试试。 2). 依题意，设第 i 天杀 2ki 1 (ki为自然数) 只，
x y l
y
z
m
x z n
由三元一次线性方程组解出x,y,z即得三根电线 的电阻。
说明：此问题的难点也是可贵之处是用方程 “观点”、”立场”去分析，用活的数学思想使实 际问题转到新创设的情景中去。
返回
6、比赛场次
37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两 支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结 束。问共需进行多少场比赛？
则所提问题变为在自然数集上求解方程
7
(2ki 1) 26
i 1
于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型
求解： 用反证法容易证明本问题的解不存在。
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3、相遇问题
某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？
出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上
要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。
停车是需要时间的，在这段时间内，车辆
仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在
离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽
管它没被画在地上），见图。对于那些黄
D
灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
L
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确
1、从包汤圆（饺子）
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
vv
v
V
V和 nv 哪个大? 定性分析
换显一然种是想由法于，节问省题了就从迎 刃相而遇解点了到。会假合如点他，的又妻从子会遇合 到 点点故他，返，后那回故仍么相由似载这遇相乎着一点遇条他天这点件开他一到不往就段会够会不路合哦合会的点。地提缘需。 前开回5分家钟了。。而提此前人的提十前分了钟三时 间十从分何钟而到来达？会合点，故相遇 时他已步行了二十五分钟。
因为圆的方程为：
直线BC的方程为：
当台风中心处于圆内时，有：
其中参数t 为时间(单 位为h)。
解得
所以，大约在2h以后气象台A所在地区将会遭 受台风的影响，持续时间大约为6．6h。
8、黄灯应当亮多久
交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态— —亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。
设想一下黄灯的作用是什么，不难看
解法二： 以时间t为横 坐标，以沿上山路线从山下旅 店到山顶的路程x为纵坐标， 从山下到山顶的总路程为d;
严格的数学论证： 令
思考题：有一边界形状任意的蛋糕，兄妹俩都想吃，
妹妹指着蛋糕上的一点P，让哥哥过点P切开一人一半，
能办到吗?
返回
5、测量电阻
在一摩天大楼里有三根电线从底层控制室通向顶 楼，但由于三根电线各处的转弯不同而有长短，因 此三根电线的长度均未知。现在工人师傅为了在顶 楼安装电气设备，需要知道这三根电线的电阻。如 何测量出这三根电线的电阻?
一般思维：
36 18 10 4 2 1 18 9 5 2 1 1 36 2 2 2 22
逆向思维： 每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即 就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。
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7、气象预报问题
在气象台A的正西方向300 km处有一台风中心，它 以40 km/h的速度向东北方向移动；根据台风的强度， 在距其中心250 km以内的地方将受到影响，问多长时间 后气象台所在地区将遭受台风的影响?持续时间多长?
定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2。
其中 L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时
间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。
L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测
算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度
v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可
某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路 返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至 少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一 人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下， 两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出 了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时 间，两人必会在途中相遇。