第四章 复级数

n
重要推论: lim n 0 级数 n发散.
n n1

n ? 0 判别级数的敛散性时, 可先考察 lim n
例 如 ， 级 数 e in : 因为 lim n lim e in 0,
n 1
n n

不满足必要条件, 所以原级数发散.
17
级数 n 绝对收敛： 如果级数
发散，所
9
二、 复数项级数的收敛性及其判别法
所谓通项为复数 n an bni 的复数项级数就是

n 1

n
1 2 n
(1.2)
前n项的和
Sn k 1 2 n
k 1 n
称为级数的部分和.
10
级数收敛与发散的概念 如果该部分和数列{ Sn } 收敛到S，则称上 述复数项级数收敛，且称 S 为该级数的和， 记为 n S
的任何点z，此幂级数在该点不仅收敛，而且绝对收 敛。
k c ( z z ) 推论 若幂级数 k 0 在点z1发散，则它在满足 k 0
| z z0 || z1 z0 |
处发散．
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证明
不妨设z0＝0.因为级数
n n c z 收敛 , 有 lim c z 0， n1 n 1＝ n 0 n
知

n
所以
k 1
2 2 ak bk ak bk , k 1 k 1

n
n
, a 与 b 绝 对 收 敛 时
n 1 n n 1 n
. 也绝 对 收 敛
n 1 n

综上可得:
. 绝 对 收 敛 a 与 b 绝 对 收 敛
n 1 n n 1 n n 1 n
n 1
如果该部分和数列 { Sn } 发散，则称复数项 级数发散。 说明：与实数项级数相同, 判别复数项级 数敛散性的基本方法是: 利用极限 lim S n S .
n
11
例 如, 级 数 z n :
n 0

sn 1 z z z
2
n-1
1 zn 1 z
(1.4)
其中z是复变数，系数 ck 是复常数.
27
当 z0 0 时，
k 0
k k 5)
例 幂级数
1 , | z | 1, k z 1 z 收敛区域为{z:|z|<1}。 k 0 发散， | z | 1.
同理可证：
lim bn b0 .
n
7
反之, 如果 当 n N , 从而有
lim a n a0 , lim bn b0，那么 n n
a n a0

2
,
bn b0

2
.
n (an ibn ) (a0 ib0 )
(an a0 ) i(bn b0 )
n 1
{ n } 和 { n } 的极限存在 .
a
n 1

n
和 bn 都 收 敛 .
n 1

说明
复数项级数的收敛问题

两个实数项级数的收敛问题
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练习 解
1 i 级 数 (1 ) 是 否 收 敛 ？ n n 1 n

1 因 为 an 发 散; n 1 n 1 n
z A0
称 S ( z )为级数
f ( z ) 的和函数。
n 1 n
26
k 1 f ( z ) c ( z z ) ,(k 1,2,3)时，得到的函数项级数就 当 k k 1 0
是一幂级数，即幂级数为
k k c ( z z ) c c ( z z ) c ( z z ) k 0 0 1 0 k 0 k 0

解(1)由 | n | 1 不趋于零，故由推论得该级数发 散。 1 1 (2) | n | 2 n ,其绝对值级数的公比为 2 1 ， 故该级数不仅收敛而且是绝对收敛。 n 1 n 1 1 ( 1) 2 (3)其实部级数为 (1) ，虚部级数为 n n 1
n 1
( z 1),
1 1 zn , Sn lim 由于当z 1 时, lim n n 1 z 1 z
所以当z 1 时级数收敛 .
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复数项级数与实数项级数收敛的关系(定理3)
: 定理3 级数 n (an ibn ) 收敛的充要条件是
n 1 n 1
a
n 1

n
和 bn 都 收 敛 .
n 1

证明 因为 Sn 1 2 n
(a1 a2 an ) i (b1 b2 bn )
n i n ,
13
根据{ Sn } 极限存在的充要条件 :
即， n 收 敛 的 充 要 条 件 是
n 1

|
n1

n
| 或 | 1 | | 2 | | n |
收敛，则称级数

n 1

n
绝对收敛。
绝对收敛级数的性质(定理5) 定理5 如果 n 绝对收敛，那么
n 1

n 1

n
收敛。
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证明 而
由于
2 2 a b n n n, n 1 n 1
我们从导数与积分的角度研究解析函 数均获得成功．于是，我们自然会想从数 学分析中选取别的研究角度如幂级数来讨 论解析函数．实践证明，这种选择是成功 的．
1
第四章 复级数
首先介绍复数列和复数项级数收敛 的概念和判别法，以及幂级数的有关概 念和性质。 然后讨论解析函数的泰勒级数和罗 伦级数展开定理及其展开式的求法，它 们是研究解析函数的性质和计算其积分 的重要工具。
n
22
它们通项的绝对值当n→∞时是单调下降，并且 趋于零，故由交错级数的判别法知它们是收敛的， 从而原复数项级数是收敛的。
23
例3 解
(8i )n 级数 是否绝对收敛？ n 1 n!

因为
(8i ) n 8 n , n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收 敛, n 1 n!

收敛.
故级数
n c z n 绝对收敛. 另一部分请课后完成 n0
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收敛半径
k c z 与幂级数 k 相对应，作一实系数的幂级数：
k 2 k | c | x | c | | c | x | c | x | c | x (1.6) k 0 1 2 k

k 0
其中x为实数。
20



21
例1 当 | z | 1 时，级数 z n 绝对收敛 ，并且
1 z 1 z k 0
k
n 0

例2 判别下列级数的收敛性 n n i n i (1) (2)
n i
n 1
n 1
2
(3)
n i n ( 1 ) 2 n n 1


an an bn ,

2
2
bn an bn ,
2
2
因此， an 及 bn 都 收 敛.
n 1 n 1
根据实数项级数的绝对收敛性, 知
a
n 1

n
及 bn 也 都 收 敛 . 从而
n 1


n 1

n
是收敛的 .
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2 2 说明 由 an bn an bn ,

k c ( z z ) 在一般情况下，级数 k 0 是否存在一
个圆
k 0
| z z0 | R,
在该圆外部发散，而在内部绝对收敛呢？
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Abel第一定理 定理6 如果幂级数 么对于满足：
k c ( z z ) k 0 在 z1 ( z0 ) 处收敛，那 k 0

| z z0 || z1 z0 |

故原级数收敛, 且为绝对收敛.
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三、幂级数及其收敛半径 1.函数项级数和幂级数的概念
设{ fn ( z )}为区域A上的复变函数列, 则

f
n 1
n
( z ) f1 ( z )
f 2 ( z ) f n ( z ) (1.3)
称为复变函数项级数。 级数前n项的和
Sn ( z ) f1 ( z ) f 2 ( z ) f n ( z )
1 bn 2 收 敛. n 1 n 1 n



所以原级数发散.
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级数收敛的必要条件 定理4 如果级数 n 收敛，那么当 n 时，
n 1
n 0.
n 1
因为实数项级数 an和 bn收 敛 的 必 要 条 件 是
n 1

lim a n 0 和 lim bn 0 .
N N ( ) 0
n
定理1
lim z n
n
lim | z
n
n
| 0
5
复数列收敛与实数列收敛的关系 定理2 复数序列 zn an bni收敛到 z0 a0 b0 i 的充分必要条件是： lim a n a0 并且 lim bn b0
2
§1 复数项级数和幂级数
一、复数列的收敛性及其判别法
二、复数项级数的收敛性及其判别法
三、幂级数及其收敛半径
四Δ、幂级数的运算性质
3
研究级数和序列的基本性质，先从复数序列开始。 一、复数序列的收敛性及其判别法： 复数序列就是：
z1 a1 b1i , z2 a2 b2 i , , zn an bni ,,
an a0 bn b0 ,
所以
lim n .
n
该结论说明: 可将复数列的收敛性转化为判别两 个实数列的收敛性.
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例1 判别下列数列的收敛性和极限
ni （1） n n1
（2） n
cosn (1 i )n
ni e （3） n
解 然
因而存在正数M, 使对所有的n, 有 cn z1n M ,
若 z z1 ,
z 则 q 1, z1
cn z cn z1
n n
z z1
n
n Mq . n
由正项级数的比较判别法知:
cn z n n 0

c0 c1 z c2 z 2 cn z n
n n
6
n , 那末对于任意给定的 证明：如果 lim n
0, 能找到一个正整数 N , 使得当
(an ibn ) (a0 ib0 ) ,
n N ,
从而有
an a0 (an a0 ) i(bn b0 ) ,
a n a0 . 即 lim n
(1.1)
an Re zn bn Im zn，该序列 这里 zn 是复常数， 简单记为 { zn } 。根据 {| zn |} 的有界性来定义{ zn } 的 有界性。
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复数列的极限
定义1 设 一复常数，如果对任意 0，存在
使得当 n N 时，有 | zn | 则称 {zn } 极限是 ，或者 {zn } 收敛且收敛到 ， 记作 lim z n
n ni a 0 , b n (1)令 an bni n 1 ， 则 n n 1 ，显 an 0 ，bn 1 故当 n ， n i 。
n 时
(2)显然当
， | n | 0 ，因此 n 0
{an }
(3)由于 an cosn , bn 0 ，并且 以该数列发散。
n n
所以复数项级数 n收 敛 的 必 要 条 件 是
n 1

lim n 0
n
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注意：条件 n 0 n 0 n ，该条件只是级数 1 收敛的必要条件，而不是充分的，比如级数 n 1 n 1 尽管通项 0 ，但是它是发散的。
称为该级数前n项的部分和.
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f n ( z0 ) 如果 f n ( z ) 在 A0 A上每一点 z0 ，级数 n 1 n 1 收敛(于 S ( z0 ))，则称级数 f n ( z ) 在 A0 上收敛 n 1 S ( z ) (于 ），记为


f
k 1

k
(z) S(z)