LTI 离散系统的频域分析

实验二 LTI 离散系统的频域分析

一、实验目的 1、 利用 Matlab 绘制 LTI 离散系统的零极图；

2、 根据离散系统的零极点分布，分析系统单位响应 h(n) 的时域特性；

3、 利用 Matlab 求解 LTI 离散系统的幅频特性和相频特性。 二、实验原理 1、离散系统的零极点

LTI 离散系统可采用(4-1)所示的线性常系数差分方程来描述，其中y(n)为系

统输出信号，x(n)为系统输入信号。

1

()()N

M

k

m k m a

y n k b x n m ==-=-∑∑

将上式两边进行z 变换得：

1

011

1

(1)()()()/()()

(1)

M

M

j

j

m j j N N

i

k

i

i i q z

b

z

B z H z Y z X z K

A z a z

p z

--==--==-==

=

=-∑∏∑∏

上式中，A(z)和B(z)均为z 的多项式，可分别进行式因式分解。c 为常数， q j (j ＝1，2，…，M)为H(z)的M 个零点， p i (i ＝1，2，…，N )为H(z)的N 个极点。H(z)的零、极点的分布决定了系统的特性，若某离散系统的零、极点已知，则系统函数便可确定。因此，通过对H(z)零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：

离散系统的稳定性；

系统单位响应h(n)的时域特性；

离散系统的频率特性(幅频响应和相频响应)。 2、离散系统的因果稳定性

离散系统因果稳定的充要条件:系统函数H(z)的所有极点均位于z 平面的单位圆内。对于三阶以下的低阶系统，利用求根公式可方便地求出离散系统的极点位置，判断系统的因果稳定性。对于高阶系统，手工求解极点位置则非常困难，这时可利用MATLAB 来实现。 3、离散系统的频率响应()j ωH e

()

()[()]()|()j j j j z e H e DTFT h n H z H e e

ωϕωωω====

()j ωH e 称为离散系统的幅频响应，决定了输出序列与输入序列的幅度之比； ()ϕω称为离散系统的相频响应，决定了输出序列和输入序列的相位之差；

()j H e ω随ω而变化的曲线称为系统的幅频特性曲线，()ϕω随ω而变化的曲线称为系统的相频特性曲线。

（4-1）

（4-2）

离散系统的频率响应()j ωH e 与连续系统的频率响应()H j Ω最大区别在于其呈周期性，且周期为2π。因此，只需分析()j ωH e 一个周期或0～2π范围内的情况便可分析出系统的整个频率特性。 4、分析离散系统特性常用的函数

(1) roots()函数

求系统函数的零点和极点位置，调用命令格式如下:

()p roots A =

A 为待求根的关于z 的多项式的系数构成的行向量，返回向量p 则是包含该多项式所有根位置的列向量。例如多项式为:

234A z z =++

则求该多项式根的MATLAB 命令为： A=[1 3 4]; p=roots(A) 运行结果为： p=

-1.5000 + 1.3229i -1.5000 - 1.3229i

注意：求离散系统函数零极点时，系统函数有两种形式，一种是分子和分母多项式均按z 的降幂次序排列，如式(4-3)所示；另一种是分子和分母多项式均按 z 的升幂次序排列，如式(4-4)所示。上述两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。

3432

2()3221

z z

H z z z z z +=++++ 1

121()11124

z H z z z ---+=++

若H(z)是以z 的降幂形式排列，则系数向量一定要由多项式的最高幂次开始，

一直到常数项，缺项要用0补齐。例如对式(4-3)所示的系统函数 分子多项式的系数向量为：b = [1 0 2 0] (缺项用0补齐) 分母多项式的系数向量为：a = [1 3 2 2 1]

若H(z)是以z 的升幂形式排列，则分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则z=0的零点或极点就可能被漏掉。例如对式(4-4)所示的系统函数

分子多项式系数向量应为 b = [1 1 0] (缺项用0补齐，以保证分子分母系数向量维数相同) 分母多项式系数向量应为 a = [1 0.5 0.25] 用roots()函数求得系统函数H(z)的零极点后，就可以用plot 命令在复平面上绘制出系统函数的零极点图，方法是在零点位置标以符号“×”，而在极点位置标以符号“o ”。

(2) zplane()函数

应用zplane 函数可以得到系统函数H(z)的零极点分布图，其调用格式为：

zplane(b,a)

b 和a 分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量，函数的作用是在z 平面上画出单位圆，零点和极点。 (3) impz()函数

（4-3） （4-4）

根据H(z)零极点分布，绘制系统的单位响应h(n)的序列波形，其调用格式如下：

im pz(b,a)： b ，a 表示 H(z)的分子和分母多项式的系数向量。

i mpz(b,a,N)： b ，a 的含义同上，N 为显示样本的个数。

例如：系统函数为1

()1

H z z =-，求系统的h(n)的序列波形，代码如下：

b=[1]; a=[1 -1]; impz(b, a)

(4) freqz()函数

计算离散系统频率响应的数值，再利用函数 abs()、angle()及 plot()函数，可绘制出系统在 0 ~π或 0 ~ 2π范围内的幅频特性曲线和相频特性曲线。freqz()的调用格式有：

[H,w]=freqz(b,a,N)

b ，a 表示 H(z)的分子和分母多项式的系数向量，N 为正整数。返回向量 H 包含了离散系统频率响应()j ωH e 在0~π范围内N 个频率值，向量w 则包含0~π范围内的N 个频率等分点。如果在调用中N 缺省，则系统默认为N=512。

[H,w]=freqz(b,a ,N,’whole’)

计算离散系统在 0 ~ 2π范围内N 个频率点的频率响应值。 三、实验内容

1、编写 MATLAB 程序，绘出下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应 h(n)的波形，判断系统因果稳定性。

(1)

11()0.8H z z =-, (2)21()0.8H z z =+, (3)32

1

() 1.20.72H z z z =-+, (4)

4()1z H z z =-, (5) 52() 1.61z H z z z =-+,(6) 6() 1.2z H z z =

-,

(7)

72

()2 1.36

z

H z z z =-+

2、某数字滤波器( 或离散系统)，其差分方程为y(n)-0.9y(n-8)= x(n)-x(n-8)，试计算该系统在0~2π范围内的频率响应(取400点)，绘出系统在0~2π范围内的幅频特性曲线和相频特性曲线，分析系统的功能。

提示：(1)对差分方程先进行Z 变换，得到系统函数H(z)，再调用函数 freqz 函数计算频率响应值；(2)调用函数abs()、angle()和 plot()在0~2π范围内绘制出系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。 四、思考题 1、从实验内容 1 的结果进行分析，说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。哪个系统不稳定？ 2、实验内容 2 中的离散系统是一个什么类型的滤波器，具有什么功能？（提示，可查阅相关资料） 五、实验报告要求

1、将源代码及其运行结果附在报告中并加以分析说明；