微分及其运算

证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x), y A o(x) ,
x
x
f
( x0 )
lim
x பைடு நூலகம்0
y x
A
lim
x 0
o(x) x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
dy
x
x0 x0 x
x
的切线上纵坐标的改变量。
当 x 很小时, 在点M的附近, 切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
★ 导数与微分的区别:
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ( x0 ), 而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x x0的线性函数, 实际上,它是无穷小.
dy f ( x)x f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商
等于该函数的导数. 导数也叫"微商".
练习
已知函数 f ( x) x 2 在点 x 处的自变量 的增量为 0.2，对应的函数增量的线性主 部是dy=0.8，那么自变量 x 的始值为____.
(1)
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分) 是否所有函数的改变量都有（可微的条 件）?它是什么（微分的定义）?如何求?
二、微分的定义（是什么？）
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义 ,
x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
解 Q dy x x0 ( x2 ) xx0 x 2 x0 x
0.8 2x0 0.2
x0 2
四、微分的几何意义
几何意义:(如图) y
T
函数f ( x)在点x处的微分 表示为：相应于自变量 x的改变量x,曲线 y f ( x)在点M( x, y) o
y f (x)
）
N
M
P
o(x)
y
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
且 lim 0, x0
从而 y f ( x0 ) x x,
0 (x 0),
lim x lim 0,
x0 x
x0
y f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
主要内容
微分的定义； 微分的几何意义； 求函数的微分； 微分在近似计算中的应用.
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
面积函数 A( x) x2
x0
x (x)2
A A( x0 x) A( x0 )
x0x
x
( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
例1 y x,求dy.
什么意思？
解 dy ( x)x 1 x x,
由于y x,故得
dy dx x.
该例说明:
自变量的增量就是自变量的微分： x dx
函数的微分可以写成:
微分dy叫做函数增量 y的线性主部(. 微分的实质)
定义的几点说明：
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
A x ( x)
A x
1
o(x)
1
A x
(x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和(定x理0有) 关;
3
x
2 0
x
3x0
(x)2
(x)3
.
(1)
(2)
Q
lim 3x0
x 0
(x)2 (x)3 x
lim[3
x 0
x0
x (x)2]
0
3x0 (x)2 (x)3 (x) (x) 0,(x 0)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x (x) 3x02 x.
dy f ( x)dx 或 df ( x) f ( x)dx 当dy f ( x)dx时, 有f ( x) dy .
dx
即函数 f (x) 在点 x 处的导数等于函数的
微分 d y 与自变量的微分 d x 的商, 故导数也
可称为微商.
例2 求函数y x2在x 1和x 3处的微分。
解 Q dy ( x2 )x 2xx
dy
x1
2xx
2x,
x1
dy x3 2xx x3 6x.
例3 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3x2x x2 0.24
x 0.02
x 0.02
通常把自变量 x的增量 x称为自变量
的微分,记作dx, 即dx x.
(1)
(2)
A0 x02 x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
lim (x)2 0 (x)2 (x).
x0 x
再如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量
为x时, 求函数的改变量 y.
y ( x0 x)3 x03
线方程在点 x0 的纵坐标增量.
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
三、可微的条件(什么样的函数可微？)
定理 函数 f ( x)在点 x0可微,且 A f ( x0 )的充要
条件是函数 f ( x)在点 x0处可导 .
dy xx0 f ( x0 )x 函数f ( x)在点x0可导
y f ( x0 )x (x)
lim dy lim
x x0
x x0
f ( x0 )( x x0 )
0.
2. 从几何意义上来看, f ( x0 ) 是曲线 y f ( x) 在
点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,而微分 dy f ( x0 )
( x x0 )是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切