数列综合应用

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第四节数列求和与数列的综合应用

自|主|排I查

1•公式法与分组求和法(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和。

①等差数列的前n项和公式：$== na i+ d。

②等比数列的前n项和公式：$=

(2)分组求和法

若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相

加减。

2.倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法

如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n

项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的。

(2)并项求和法

J P -_.l ..-^i '、 / -

在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如a n= ( — 1) n f (n)类型，可采用两项合并求解。

2 2 2 2 2 2 2 2 22 22

例如，S= 100 — 99 + 98 —97 +…+ 2 — 1 = (100 — 99 ) + (98 —97 ) +…+ (2 — 1 ) = (100 + 99) + (98 + 97) + …+ (2 + 1) = 5050。

3•裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

(2)常见的裂项技巧：心=—。笑=。

③=。@= 一。

4.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可

用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。

微点提醒1 •使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏V L… I

写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。

2.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。

小|题|快|练

一、走进教材

1•(必修5P47B组T4改编)数列｛a n｝的前n项和为S，若a n=，则S5等于( )

A. 1

B.

C.

D.

2 n一 1

2.(必修 5P61A组 T4(3)改编)1 + 2x + 3x+…+ nx = ___________ ( x^0 且 X 1)。

二、双基查验

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1.若数列｛a n｝的通项公式为a n= 2n + 2n- 1，则数列｛a n｝的前n项和为( )

n2 n+1 2 n+ 12 n

A. 2 + n- 1

B. 2 + n-1 C . 2 + n-2 D. 2 + n-2

2.若数列｛a n｝的通项公式是a n = ( — 1) (3 n — 2)，贝V ai +比+…+ ae=( )

A. 15

B. 12 C . - 12D. — 15

3.数列｛a n｝的通项公式是a n=，前n项和为9,贝U n=( )

A. 9

B. 99 C . 10D. 100

4.__________________________________________________ 已知数列｛a n｝的前n项和为S且a n= n・2n,则S= ____________________________________________________ 。

5.______________________________________________________________________ 数列｛a n｝满足a1= 1，且

a n+1-a n= n+1(n€ N)，则数列的前10项和为______________________________________________

【典例1】已知数列｛a n｝的通项公式是a n = 2・3 -+ ( — 1) (In2 — ln3) + ( — 1) n ln3，求其前n项和$。

反思归纳 1.若a n = b n± G,且｛b n｝, ｛C n｝为等差或等比数列，可采用分组转化法求｛a n｝的前n项和。

2.通项公式为a n=的数列，其中数列｛b n｝ , ｛C n｝是等比或等差数列，可采用分组转化法求和。

【变式训练】(2016 •北京高考)已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是等比数列，且b2 = 3, b3= 9, a= 6, a’4= b4。

(1)求｛a n｝的通项公式；(2)设C n= a n+ b n,求数列｛C n｝的前n项和。

【典例2】(2016 •山东高考)已知数列｛a n｝的前n项和S= 3n + 8n, ｛b n｝是等差数列，且a n= b n+ b n+1。(1) 求数列

｛b n｝的通项公式；

反思归纳选择数列求和方法的依据是数列的通项公式，如该题第(2)问中通过化简数列｛C n｝的通项公式可

知，其可以写成一个等差数列与等比数列的通项公式的乘积形式，故应采用错位相减法求和。

【变式训练】(2016 •桐乡模拟)已知公比q不为1的等比数列｛a n｝的首项a1=,前n项和为$,且a4+ $,

a5+ S5, a6+ S6成等差数列。(1)求数列｛a n｝的通项公式；

(2)对n€ N*，在a n与a n+1之间插入n个数，使这n + 2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为b n,求数

列｛b n｝的前n项和T n。

【典例3】(2017 •开封模拟)设各项均为正数的数列｛a n｝的前n项和为且S满足S- (n+n — 3) • S —3( n2+ n) = 0, n€ N。(1)求a1的值；(2)求数列｛a n｝的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n,有+ + •••+ ＜。

(3)

=。

(4)= ( —)。 (5)log a= log a( n+ 1) — log a n。

【变式训练】我国古代数学名着《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：