第6章连续时间信号和连续时间系统
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6．10 连续时间系统的输入输出关系和脉冲响应
以连续时间信号为输入、输出的系统称为连续时间系统，输入、输出满足线性关系的称 线性系统，特性不随时间而变的线性连续时间系统称为线性时间不变连续时间系统。
作为连续时间系统，可以考虑像非线性型时变系统之类的系统。然而，这类系统除待别
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函数，当表示为
时，由于选定三角级数
的系数Ck为
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第六章 连续时间信号和连续时间系统
则用 s(t)可很好地近似 x(t)。
我们将系数Ck由上式给出的三角级数称为付里叶级数、其系数Ck称为付里叶系数。 付里叶级数 s(t)在均方差的标准下是函数 x(t)的最好近似，从而在时间区间
第六章 连续时间信号和连续时间系统
的付里叶变换 xF (ω) 。
根据付里叶变换的定义，有
其中, sin c(ω) 是标准化函数。方形脉冲 rect(t)和标准化函数 sin c(ω) 的图象如图 6.2
所示。 由上可得如下关系：
付里叶变换是线性积分变换，且具有如下 性质：
(1) 线性性
图 6.2
(2) 叠加性
所以，通常的δ (t) 函数由此式定义。其中，φ(t)
是任意的连续函数。图 6.3 所示即为单位面积脉
冲信号，x(t)和δ (t) 函数。
若设
则该式就与信号 x(t)的付里叶变换 xF (ω)
的定义式相同。所以有
图 6.3
在此，若考虑 T＝0 时的值，δ (t) 就可表示为
若将此式看成通常函数的积分，就变得无意义了。所以只能看作形式上的表示。有关 这方面的处理，请参阅超越函数。
作为重要而特异的连续时间信号有单位阶跃函数
和满足下式的脉冲
脉冲δ (t) 通常称为狄拉克δ 函数。将在另一节详细论述。
6.2 三角级数
由三角函数 cos(kω0t) 及 sin(kω0t) 的有限项和构成的函数称为三角多项式。
其中ak，bk为任意实数，角频率 ω0 为正的实数。 三角多项式SN(t)的项数无限增大时的极限
也有人将付里叶变换 xF (ω) 称为付里叶积分。
为使付里叶变换具有有限的确定值，则必须有
因此，若信号 x(t)满足
则付里叶变换存在。此条件是付里叶变换存在的充分条件，但不是必要条件。
若给定付里叶变换 xF (ω) 的值，则利用逆变换(IFT)，信号 x(t)可表示为
例：求方形脉冲
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当输入 x(t)为脉冲δ (t) 时，其输出
称为脉冲响应。
在此，若假设变换 L{·}满足线性关系，即
则系统是线性系统，而线性系统的输入、输出间的传递特性可完全由脉冲响应 h(t)描述。线
性连续时间系统的输入、输出与脉冲响应的关系示于图 6.6。
系统的特性如果对时间是不变的，则对于输入
δ (t) 和输出 h(t)，当它们的时间原点移动时，其间
第六章 连续时间信号和连续时间系统
第六章 连续时间信号和连续时间系统
6.1 连续时间信号
以连续性时间的所有时间点定义的信号称为连续时间信号。伴随包括人在内的自然界 的物理现象的信号，对于振幅轴通常取连续值；而这样的信号称为模拟信号。由于通常的 模拟信号是连续时间信号，所以，将连续时间信号称为模拟信号。
其中，积分路径 Γ 为在， s = σ + iω 时，使实数σ 固定为正值，面 ω 从 − ∞ 变化到+ ∞ 。
的路径。由此逆变换给出的信号是因果函数。
对于信号 x(t)的拉普拉斯变换 X L (ω) 可用上)式定义。但若 x(t)为因果性的，则付里叶
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第六章 连续时间信号和连续时间系统
的解给出，即系数Ck由下式给出
结果，在均方误差的标准下．当利用由正交函数系ϕk (t) 而得的级数的部分和SN(t)近似 x(t)时，最佳近似为正交级数的部分和。这些论述，对于付里叶级数的部分和
当然也成立，所以，付里叶级数的部分和SN(t)是在均方误差标准下函数x(t)的最佳近似。
6.7 付里叶变换
作为用简单的式子表示的连续时间信号 x(t)的例子有
通常,a，b 是实数，信号 x(t)称为正弦波。正弦波取实数值就是周期信号，而其性质是
不随时间而变的，所以是恒定的。
在下式中，设 b＝ja，则信号
被称为角频率为 ω0 的复指数函数。信号 y(t)是复数值信号，但与实数值信号的正弦波
几乎具有相同的性质,相对于通常的实数值信号的正弦波，复指数函数更具有一般性，而且 数学处理容易；从而被广泛用于信号和系统的分析中。
第六章 连续时间信号和连续时间系统
情况外，数学上不容易处理。因此，详细地了解此类系统是困难的，因而利用它也是困难的。 与此相反，线性时间不变系统因数学处理简单，从而可详细地知道其性质，故被广泛使用。
对连续时间系统加上输入 x(t)时的输出 y(t)．可认为是对 x(t)施加某种变换的结果，
则输入、输出之间的关系可表示为
将在区间{t : a ≤ t ≤ b} 上连续的函数 x(t)以规一化正交函数系{ϕk (t) : k = 0,1,L} 为
基展开，从而可考虑用所谓的正交级数
表示。
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若正交级数 s(t)在区间{t : a ≤ t ≤ b} 上取充分近似于函数 x(t)的值，则可表示为
的关系不变；所以，对于任意时间τ 的偏移，下列
关系成立
图 6.6
在上式的两边同乘以不受线性变换 L{·}作用的值，即乘以不含时间 t 的 x(τ ) 并对τ 积分,
则有
式子左边的值称为 h(t)与 x(t)的卷积，并将此关系表示为
对于卷积运算，交换律成立
此关系的意义是当输入 x(t)有界时，输出 y(t)也是有界的，所以下式必须成立;
变换 X F (ω) 由下式给出
所以,x(t)的绝对积分是可能的，且当
时，有
例如，当因果性信号 x(t)由
给出时，其拉普拉斯变换XL(s)为
且由于 x(t)可绝对积分，所以 x(t)的付里叶变换 X F (ω) 为
信号 y(t)为
时，y(t)的拉普拉斯变换YL(s)为
但由于 y(t)不可能绝对积分，所以 y(t)的付里叶变换不等于YL (iω) 。然而，y(t)的付里 叶变换 YF (ω) 是存在的，且为
6.3 付里叶级数
系数由付里叶系数表示的三角级数即称为付里叶级数。利用付里叶级数，在均方差的
标准下，可对有限区间上的任意信号或在整个区间上的周期信号实现最好的近似。信号是时
间的函数，但由于考虑其付里叶级数而以不同频率的正弦波的形式表现出来。付里叶级数表
示出了信号频率分量的大小和相位。
例如给定的信号 x(t)被定义在区间{t : − T ≤ t ≤ T } 上，在不考虑其外侧时，x(t)是周期
单位面积脉冲信号
当时间宽度 2τ 非常狭窄时，具有狄拉克δ (t) 函数的性质
即 δ (t) 函数可考虑为单位面积方脉冲的极限过渡函数
但是，正如上式表明的那样， δ (t) 不是通常的函数，要给出严格的定义并不那么简单。然
而，以这些式子为基础，可得如下关系式
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付里叶变换(FT)是将时间函数变换为频率函数那样的积分变换，并且是将付里叶级数的
考虑方法扩展到无限时间区间的函数中的变换。
若将定义付里叶系数和付里叶级数的函数 x(t)的区间体{t : − T ≤ t ≤ T } 扩展到无限时
2
2
间区间，则付里叶级数就变成付里叶变换。即信号 x(t)的付里叶变换 xF (ω) 定义为
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第六章 连续时间信号和连续时间系统
可以认为这样的系统是稳定的。即脉冲响应 h(t)的绝对积分是可能的，且当
时，系统是稳定的，反之为了做到稳定，绝对积分必须是可能的。 对于物理上可能实现的系统，由于有所谓的结果不先于原因的因果性，所以，因果性系
6.6 均方差近似
我们设想用正交规一化函数系ϕk (t) 构成的级数 s(t)的部分和
来近似函数 x(t)。
作为近似误差
的评价基准，拟采用在区间{t : a ≤ t ≤ b} 的均方差值
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就级数部分和SN(t)的系数Ck而言，若选取使均方误差ε N 最小时的值，则Ck可由方程
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称为三角级数。三角级数 s(t)是周期函数，周期为 T，由
给出，基频f0为
三角多项式是三角级数的部分和，是三角级数的特别情况。
三角级数 s(t)可改写为
若引入复数系数
则 s(t)可表示为
此级数称为复数型三角级数，或简称为三角级数。其中 x*是 x 的复共轭。
{t : − T ≤ t ≤ T } 上，有人也将此关系表示为
2
2
而我们则将此关系简单地表示为
付里叶系数的定义上式，可利用有关复指数函数 eikω0t 的正交关系
于是得到。即若在式子
两边同乘 e −ikω0t ，并积分，则可得到付里叶系数Ck。
作为例子，试求图(6．1)所示的方波 x(t)的付里叶级数。此方波具有周期 T，在区间
(3) 延迟 (4) 时间微分 (5) 频率微分
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(6) 乘法
第六章 连续时间信号和连续时间系统
(7) 时间轴伸缩
(8) 帕森瓦(Parseva)等式
6.8 δ 函数
δ 函数是由亥维赛(Heavicide)预见，狄拉克(Dirac)引入的特异பைடு நூலகம்数，是物理学和应用数
学中的重要函数，在信号处理领域也有很多应用，特别是在讨论连续时间信号和离散时间信 号的关系时，是重要的数学工具。
δ (t) 函数具有如下所示的性质。在此，用δ ' (t) 表示δ (t) 函数的导数。
6.9 拉普拉斯变换
在因果性信号或系统的处理及过渡现象的解析中，可使用拉普拉斯变换(LT)信号x(t)的 拉普拉斯变换XL(s)定义为
其中 S 为复变数。 若给定拉普拉斯变换的值XL(s)，则信号x(t)可由逆变换(ILT)表示为
其付里叶级数的 k 次高次谐波分量的大小正比于 k −(l+1) 。平滑波形信号的高次谐波随频率的
增大而急剧变小。
6．4 正交函数系
周期函数可用付里叶级数表示；而一般的函数用以被称为正交级数的正交函数系为基 的级数表示。付里叶级数也是正交级数的一种。
函数ϕk (t) ，ϕl (t) 的内积 (ϕk ,ϕl ) 定义为
ϕk (t) 的模(norm)定义为 如前所述，当此函数ϕk (t) 为 时，内积 (ϕk ,ϕl ) 为
当 k ≠ l 时，其值均为 0。模 ϕk 为
像这样，内积 (ϕk ,ϕl ) 只在 k＝l 时取不为 0 的值，则称ϕk (t) 构成正交系；进而，若 ϕk
取单值 1，则称构成规一化正交系。
6.5 正交级数
{t : − T ≤ t ≤ T } 上，定义为
2
2
函数x(t)的付里叶系数Ck由下式给出
所以，x(t)的付里叶级数 s(t)为
图 6.1 周期为 T 的方波
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此付里叶级数对时间积分的级数也是收敛的，且对应子三角波。在方波的付里叶级数 中，高次谐波成分的大小对于频率以(-1)次方的量级减小；而对于三角波，高次谐波分量的 大小对于频率以(-2)次方量级减小。一般对时间作 l 次微分就开始变成不连续波形的信号，
在此还可将此关系简单地写为
利用函数系{ϕk (t) }的正交规一化关系
可给出正交级数的系数Ck为
即系数Ck可认为是矢量x(t)对于单位矢量ϕk (t) 的投影。 这样一来，所得到的正交级数s(t)未必取近似于函数x(t)的值，例如，正交规—化函数系 数{ϕk (t) }是偶函数，当函数x(t)是奇函数时，利用{ϕk (t) }展开该函数，其系数Ck全部为 0。 因此，正交级数s(t)恒等于 0．从而不能正确地将函数x(t)表示出来。 因为这样的函数系不起作用，所以正交函数系必须是完备的。对于连续函数 x(t)与正交 函数系{ϕk (t) }，当内积(x，ϕt )对于所有的 k 为 0 而使 x(t)限定恒等于 0 时，称{ϕk (t) }是 完备的。{ cos(kt) }和{ sin(kt) }二函数系分别构成正交函数系，但无论哪一个正交函数系都 不完但正交函数系数{ cos(kt) ， sin(kt) }是完备的。 若正交函数系{ϕk (t) }作为信号的性质是明确的，则由于可利用正交级数 s(t)将信号 x(t) 表示为上式，故信号 x(t)的性质可原样地通过{ϕk (t) }的性质描述.
以连续时间信号为输入、输出的系统称为连续时间系统，输入、输出满足线性关系的称 线性系统，特性不随时间而变的线性连续时间系统称为线性时间不变连续时间系统。
作为连续时间系统，可以考虑像非线性型时变系统之类的系统。然而，这类系统除待别
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函数，当表示为
时，由于选定三角级数
的系数Ck为
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则用 s(t)可很好地近似 x(t)。
我们将系数Ck由上式给出的三角级数称为付里叶级数、其系数Ck称为付里叶系数。 付里叶级数 s(t)在均方差的标准下是函数 x(t)的最好近似，从而在时间区间
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的付里叶变换 xF (ω) 。
根据付里叶变换的定义，有
其中, sin c(ω) 是标准化函数。方形脉冲 rect(t)和标准化函数 sin c(ω) 的图象如图 6.2
所示。 由上可得如下关系：
付里叶变换是线性积分变换，且具有如下 性质：
(1) 线性性
图 6.2
(2) 叠加性
所以，通常的δ (t) 函数由此式定义。其中，φ(t)
是任意的连续函数。图 6.3 所示即为单位面积脉
冲信号，x(t)和δ (t) 函数。
若设
则该式就与信号 x(t)的付里叶变换 xF (ω)
的定义式相同。所以有
图 6.3
在此，若考虑 T＝0 时的值，δ (t) 就可表示为
若将此式看成通常函数的积分，就变得无意义了。所以只能看作形式上的表示。有关 这方面的处理，请参阅超越函数。
作为重要而特异的连续时间信号有单位阶跃函数
和满足下式的脉冲
脉冲δ (t) 通常称为狄拉克δ 函数。将在另一节详细论述。
6.2 三角级数
由三角函数 cos(kω0t) 及 sin(kω0t) 的有限项和构成的函数称为三角多项式。
其中ak，bk为任意实数，角频率 ω0 为正的实数。 三角多项式SN(t)的项数无限增大时的极限
也有人将付里叶变换 xF (ω) 称为付里叶积分。
为使付里叶变换具有有限的确定值，则必须有
因此，若信号 x(t)满足
则付里叶变换存在。此条件是付里叶变换存在的充分条件，但不是必要条件。
若给定付里叶变换 xF (ω) 的值，则利用逆变换(IFT)，信号 x(t)可表示为
例：求方形脉冲
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当输入 x(t)为脉冲δ (t) 时，其输出
称为脉冲响应。
在此，若假设变换 L{·}满足线性关系，即
则系统是线性系统，而线性系统的输入、输出间的传递特性可完全由脉冲响应 h(t)描述。线
性连续时间系统的输入、输出与脉冲响应的关系示于图 6.6。
系统的特性如果对时间是不变的，则对于输入
δ (t) 和输出 h(t)，当它们的时间原点移动时，其间
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6.1 连续时间信号
以连续性时间的所有时间点定义的信号称为连续时间信号。伴随包括人在内的自然界 的物理现象的信号，对于振幅轴通常取连续值；而这样的信号称为模拟信号。由于通常的 模拟信号是连续时间信号，所以，将连续时间信号称为模拟信号。
其中，积分路径 Γ 为在， s = σ + iω 时，使实数σ 固定为正值，面 ω 从 − ∞ 变化到+ ∞ 。
的路径。由此逆变换给出的信号是因果函数。
对于信号 x(t)的拉普拉斯变换 X L (ω) 可用上)式定义。但若 x(t)为因果性的，则付里叶
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的解给出，即系数Ck由下式给出
结果，在均方误差的标准下．当利用由正交函数系ϕk (t) 而得的级数的部分和SN(t)近似 x(t)时，最佳近似为正交级数的部分和。这些论述，对于付里叶级数的部分和
当然也成立，所以，付里叶级数的部分和SN(t)是在均方误差标准下函数x(t)的最佳近似。
6.7 付里叶变换
作为用简单的式子表示的连续时间信号 x(t)的例子有
通常,a，b 是实数，信号 x(t)称为正弦波。正弦波取实数值就是周期信号，而其性质是
不随时间而变的，所以是恒定的。
在下式中，设 b＝ja，则信号
被称为角频率为 ω0 的复指数函数。信号 y(t)是复数值信号，但与实数值信号的正弦波
几乎具有相同的性质,相对于通常的实数值信号的正弦波，复指数函数更具有一般性，而且 数学处理容易；从而被广泛用于信号和系统的分析中。
第六章 连续时间信号和连续时间系统
情况外，数学上不容易处理。因此，详细地了解此类系统是困难的，因而利用它也是困难的。 与此相反，线性时间不变系统因数学处理简单，从而可详细地知道其性质，故被广泛使用。
对连续时间系统加上输入 x(t)时的输出 y(t)．可认为是对 x(t)施加某种变换的结果，
则输入、输出之间的关系可表示为
将在区间{t : a ≤ t ≤ b} 上连续的函数 x(t)以规一化正交函数系{ϕk (t) : k = 0,1,L} 为
基展开，从而可考虑用所谓的正交级数
表示。
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若正交级数 s(t)在区间{t : a ≤ t ≤ b} 上取充分近似于函数 x(t)的值，则可表示为
的关系不变；所以，对于任意时间τ 的偏移，下列
关系成立
图 6.6
在上式的两边同乘以不受线性变换 L{·}作用的值，即乘以不含时间 t 的 x(τ ) 并对τ 积分,
则有
式子左边的值称为 h(t)与 x(t)的卷积，并将此关系表示为
对于卷积运算，交换律成立
此关系的意义是当输入 x(t)有界时，输出 y(t)也是有界的，所以下式必须成立;
变换 X F (ω) 由下式给出
所以,x(t)的绝对积分是可能的，且当
时，有
例如，当因果性信号 x(t)由
给出时，其拉普拉斯变换XL(s)为
且由于 x(t)可绝对积分，所以 x(t)的付里叶变换 X F (ω) 为
信号 y(t)为
时，y(t)的拉普拉斯变换YL(s)为
但由于 y(t)不可能绝对积分，所以 y(t)的付里叶变换不等于YL (iω) 。然而，y(t)的付里 叶变换 YF (ω) 是存在的，且为
6.3 付里叶级数
系数由付里叶系数表示的三角级数即称为付里叶级数。利用付里叶级数，在均方差的
标准下，可对有限区间上的任意信号或在整个区间上的周期信号实现最好的近似。信号是时
间的函数，但由于考虑其付里叶级数而以不同频率的正弦波的形式表现出来。付里叶级数表
示出了信号频率分量的大小和相位。
例如给定的信号 x(t)被定义在区间{t : − T ≤ t ≤ T } 上，在不考虑其外侧时，x(t)是周期
单位面积脉冲信号
当时间宽度 2τ 非常狭窄时，具有狄拉克δ (t) 函数的性质
即 δ (t) 函数可考虑为单位面积方脉冲的极限过渡函数
但是，正如上式表明的那样， δ (t) 不是通常的函数，要给出严格的定义并不那么简单。然
而，以这些式子为基础，可得如下关系式
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付里叶变换(FT)是将时间函数变换为频率函数那样的积分变换，并且是将付里叶级数的
考虑方法扩展到无限时间区间的函数中的变换。
若将定义付里叶系数和付里叶级数的函数 x(t)的区间体{t : − T ≤ t ≤ T } 扩展到无限时
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间区间，则付里叶级数就变成付里叶变换。即信号 x(t)的付里叶变换 xF (ω) 定义为
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第六章 连续时间信号和连续时间系统
可以认为这样的系统是稳定的。即脉冲响应 h(t)的绝对积分是可能的，且当
时，系统是稳定的，反之为了做到稳定，绝对积分必须是可能的。 对于物理上可能实现的系统，由于有所谓的结果不先于原因的因果性，所以，因果性系
6.6 均方差近似
我们设想用正交规一化函数系ϕk (t) 构成的级数 s(t)的部分和
来近似函数 x(t)。
作为近似误差
的评价基准，拟采用在区间{t : a ≤ t ≤ b} 的均方差值
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就级数部分和SN(t)的系数Ck而言，若选取使均方误差ε N 最小时的值，则Ck可由方程
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称为三角级数。三角级数 s(t)是周期函数，周期为 T，由
给出，基频f0为
三角多项式是三角级数的部分和，是三角级数的特别情况。
三角级数 s(t)可改写为
若引入复数系数
则 s(t)可表示为
此级数称为复数型三角级数，或简称为三角级数。其中 x*是 x 的复共轭。
{t : − T ≤ t ≤ T } 上，有人也将此关系表示为
2
2
而我们则将此关系简单地表示为
付里叶系数的定义上式，可利用有关复指数函数 eikω0t 的正交关系
于是得到。即若在式子
两边同乘 e −ikω0t ，并积分，则可得到付里叶系数Ck。
作为例子，试求图(6．1)所示的方波 x(t)的付里叶级数。此方波具有周期 T，在区间
(3) 延迟 (4) 时间微分 (5) 频率微分
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(6) 乘法
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(7) 时间轴伸缩
(8) 帕森瓦(Parseva)等式
6.8 δ 函数
δ 函数是由亥维赛(Heavicide)预见，狄拉克(Dirac)引入的特异பைடு நூலகம்数，是物理学和应用数
学中的重要函数，在信号处理领域也有很多应用，特别是在讨论连续时间信号和离散时间信 号的关系时，是重要的数学工具。
δ (t) 函数具有如下所示的性质。在此，用δ ' (t) 表示δ (t) 函数的导数。
6.9 拉普拉斯变换
在因果性信号或系统的处理及过渡现象的解析中，可使用拉普拉斯变换(LT)信号x(t)的 拉普拉斯变换XL(s)定义为
其中 S 为复变数。 若给定拉普拉斯变换的值XL(s)，则信号x(t)可由逆变换(ILT)表示为
其付里叶级数的 k 次高次谐波分量的大小正比于 k −(l+1) 。平滑波形信号的高次谐波随频率的
增大而急剧变小。
6．4 正交函数系
周期函数可用付里叶级数表示；而一般的函数用以被称为正交级数的正交函数系为基 的级数表示。付里叶级数也是正交级数的一种。
函数ϕk (t) ，ϕl (t) 的内积 (ϕk ,ϕl ) 定义为
ϕk (t) 的模(norm)定义为 如前所述，当此函数ϕk (t) 为 时，内积 (ϕk ,ϕl ) 为
当 k ≠ l 时，其值均为 0。模 ϕk 为
像这样，内积 (ϕk ,ϕl ) 只在 k＝l 时取不为 0 的值，则称ϕk (t) 构成正交系；进而，若 ϕk
取单值 1，则称构成规一化正交系。
6.5 正交级数
{t : − T ≤ t ≤ T } 上，定义为
2
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函数x(t)的付里叶系数Ck由下式给出
所以，x(t)的付里叶级数 s(t)为
图 6.1 周期为 T 的方波
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此付里叶级数对时间积分的级数也是收敛的，且对应子三角波。在方波的付里叶级数 中，高次谐波成分的大小对于频率以(-1)次方的量级减小；而对于三角波，高次谐波分量的 大小对于频率以(-2)次方量级减小。一般对时间作 l 次微分就开始变成不连续波形的信号，
在此还可将此关系简单地写为
利用函数系{ϕk (t) }的正交规一化关系
可给出正交级数的系数Ck为
即系数Ck可认为是矢量x(t)对于单位矢量ϕk (t) 的投影。 这样一来，所得到的正交级数s(t)未必取近似于函数x(t)的值，例如，正交规—化函数系 数{ϕk (t) }是偶函数，当函数x(t)是奇函数时，利用{ϕk (t) }展开该函数，其系数Ck全部为 0。 因此，正交级数s(t)恒等于 0．从而不能正确地将函数x(t)表示出来。 因为这样的函数系不起作用，所以正交函数系必须是完备的。对于连续函数 x(t)与正交 函数系{ϕk (t) }，当内积(x，ϕt )对于所有的 k 为 0 而使 x(t)限定恒等于 0 时，称{ϕk (t) }是 完备的。{ cos(kt) }和{ sin(kt) }二函数系分别构成正交函数系，但无论哪一个正交函数系都 不完但正交函数系数{ cos(kt) ， sin(kt) }是完备的。 若正交函数系{ϕk (t) }作为信号的性质是明确的，则由于可利用正交级数 s(t)将信号 x(t) 表示为上式，故信号 x(t)的性质可原样地通过{ϕk (t) }的性质描述.