大学物理静电场环路定理 电势能及电势

Px
例题3 求电荷线密度为的无限长带电直线空间中的电势分布
解 若取无穷远为势能零点
E 2π0 x
uP
xP 2 0 x
dx
2π 0
(ln lnxP )
( 无意义）
取 a点为电势零点, a点距离直线为 xa
(a)
xa
uP E dl
(P)
dx
xP 2 0 x
2π 0
(lnxa
lnx p
V2 r E dl
R2 r
E2
dl
R2 E3 dl
q Q
40r 40R2
在 r R2 区域
V3
r
E3
dl
qQ
4 0r
方法二 电势叠加原理
当 r R1 时，
V1 V内 V外 qQ
40R1 40R2
当 R1 r R2 时，
V2
q
4 0r
Q
4 0R2
Aab
F dl
L
L q0E dl
b
b a
a(L1) q0E dl b(L2 ) q0E dl
L2
b b
a(L1) q0E dl a(L2 ) q0E dl
q0
L1
0
LE dl 0
a
讨论 (1) 环路定理要求电力线不能闭合。
(2) 静电场是有源、无旋场，可引进电势能。
P1
在已知电场强度分布情况下较为方便.
例球题面带1 电两个同Q心，球面，半径分别为R1、R2 ,内球面带电 q ，外
求：（1）空间的电势分布； （2）内外两球的电势差。
解：方法一 由电场与电势积分关系求出 由高斯定理（或以前的讨论）知
E1 0 (r R1)
E2
q
40r 2
(R1 r R2 )
二、电势能和电势
比 重力做功 保守力 引入重力势能等物理量
较 静电场力做功 保守力 引入电势能
相类似：静电场力对电荷所做功等于电荷电势能的改变量
WP1P2
q0
P2 P1
E
dl
EP1
EP2
EP2
EP1
令 P2点为电势能零点，则可得任一点 P的1 电势能
"0"
EP1 q0 P1 E dl
b
a(L) q0 (E1 E2 En ) dl
b
L
q1 q2 qi qn1
qn
n
i1
b a(
L)
q0
wk.baidu.com
Ei
dl
i
qiq0 ( 1 1 ) 40 rai rbi
结论：电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所 以静电力是保守力，静电场是保守场。
静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0 ，电场力作功
E3
qQ
40r 2
(R2 r2 )
所以，在 r R1 区域
V1 r E dl
R1 r
E1
dl
R2 R1
E2
dl
R2 E3 dl
0
R2 R1
q
40r 2
dr
qQ
R2 40r 2
dr
q q qQ
40R1 40R2 40R2
qQ
40R1 40R2
同理，在 R1 r R2 区域
当 r R2 时，
V3
q
4 0r
Q
4 0r
qQ
4 0r
例题2 均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为。
求 圆环轴线上一点的电势
解 建立如图坐标系，选取电荷元 dq
dq dl
du dq
dl
40r 40 R2 x2
uP
2 R
dl
0 40 R2 x2
2R 40 R2 x2
dq r
R
O
VP2
)
说明 电势是描写静电场性质的重要物理量，电势是标量; 零电势点的选取原则同零电势能点的选取原则;
电势值与电势零点的选取有关，也是个相对量，电势差则 与电势为零的选择无关;
二、电势的计算
方法一:
点电荷的电势
ua a E dl
q
r 4 0
1 r2
dr
q
4 0r
q
r
E
q
40
1 r2
VP1
EP1 q0
"0" P1
E
d（l 与E
比较）
p1
电场中某一点的电势，在数值上等于把单位正电荷从该点移
到势能零点处电场力所作的功
任意两点的电势差
B
U AB VAB VA VB
E dl
A
将电荷 q0 从 P1 点移到 P2点电场力做功为
WAB
q0
P2 P1
E dl
q0 (VP1
b
dl
E
dr
结论：点电荷的电场力对q0做功与路径无关，且与q0移动的始末位
置有关（保守力）
在电荷系 q1 、q2 、…的电场中，移动 q0，静电力所作功为:
b b
Aab
F dl
a(L)
a(L) q0E dl
b
n
a(L) q0 ( Ei ) dl i1
q0a •
q0
§4.3 静电场环路定理 电势能及电势
一、静电场的环路定理
单个点电荷产生的电场
Aab
b F dl
r dr rb
a(L)
b
a(L) q0E dl cos
b a(L)
q0
(q
4 0
1 r2
)dr
qq0 ( 1 1 )
O
q
qq0
40
ra
rb ra
1 r2
rq0
a
dr
L
4 0 ra rb
q0
说明
电势能应属于q0 和产生电场的源电荷系统所共有。
电荷在某点电势能的值与电势能零点有关,而两点的差值与 电势能零点无关
选电势能零点原则： • 当(源)电荷分布在有限范围内时，一般选无穷远处。 • 无限大带电体，势能零点一般选在有限远处一点。 • 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。
电势是描写静电场性质的另一个物理量
)
取
若取xa 1, lnxa 0
X aP O
••
xa xp
uP
2π 0
lnx
x 为所选点离带电直线的距离
q2
r2 4 0r
2
dr
1
4 0
q1 r1
1
4 0
q2 r2
对n 个点电荷:
对连续分布的带电体：
ua
n i1
qi
4 0ri
ua
dq
Q 4 0r
结论
在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独存 在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
方法二:
定义式
VP1
EP1 q0
"0" E dl
r0
ua
1
4 0
q r
点电荷系的电势
q1
r1
uP
E dl
P
P (E1 E2 ) dl
q2
r2
dl
E
a
dl
dr
r0
E2
P
E1
uP
E dl
P
P (E1 E2 ) dl
P E1 dl P E2 dl
r1
q1
4 0r
2
dr