6.7 二重积分的概念与性质

1．利用二重积分定义证明：
(,)(,)D
D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰。

【证明】由二重积分定义
1
(,)lim (,)n i
i
i
i D
f x y d f λ
σξησ→==∆∑⎰⎰，得
1
(,)lim (,)n
i
i
i
i D
kf x y d kf λ
σξησ→==∆∑⎰⎰0
1
lim (,)n
i i i i k f λξησ→==∆∑
1
lim (,)n
i i i i k f λξησ→==∆∑(,)D
k f x y d σ=⎰⎰，
证毕。

2．利用二重积分的几何意义说明：D
kd k σσ=⎰⎰
（k R ∈为常数，σ为积分区域D 的面积）。

【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分(,)D
f x y d σ⎰⎰就是以(,)z f x y =为曲顶
的柱体体积，
于是知，二重积分
D
kd σ⎰⎰表示以平面z k =为顶的柱体体积，
而以平面z k =为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高z k =， 但该柱体的底面积就是积分区域D 的面积σ， 从而得，
D
kd k σσ=⎰⎰。

3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴
()D
xy x y d σ+⎰⎰，其中积分区域{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤；
【解】由于区域{}
(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，可知区域D 的面积为
111D
d σ=⨯=⎰⎰，
而由于01x ≤≤，01y ≤≤，可得01xy ≤≤，02x y ≤+≤， 从而有0()2xy x y ≤+≤，
由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得
0()2D
D
D
d xy x y d d σσσ≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰
亦即为 0()2D
xy x y d σ≤+≤⎰⎰。

⑵
(1)D
x y d σ++⎰⎰，其中积分区域{}(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤；
【解】由于区域{}
(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤，可知区域D 的面积为
122D
d σ=⨯=⎰⎰，
而由于01x ≤≤，02y ≤≤，可得03x y ≤+≤， 从而114x y ≤++≤，
由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得
1(1)4D
D
D
d x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰
亦即为 2(1)42D
x y d σ≤++≤⨯⎰⎰，整理得2(1)8D
x y d σ≤++≤⎰⎰。

⑶
2
2(49)D
x
y d σ++⎰⎰，其中积分区域{}22(,)4D x y x y =+≤。

【解】由于区域{}
22(,)4D x y x y =+≤，可知区域D 的面积为
2
24D
d σππ=⨯=⎰⎰， 下面求函数2
2
(,)49f x y x y =++在条件2
2
4x y +≤下的最大、最小值， 亦即椭圆抛物面2
2
49z x y =++在圆柱2
2
4x y +=内部的最大、最小值， 易见2
2
40x y +≥，可知2
2
499z x y =++≥，当0x y ==时等号成立， 又可知，椭圆抛物面2
2
49z x y =++与圆柱2
2
4x y +=的交线，在椭圆簇的短轴上
达到最高，亦即当0x =，2y =±时，函数2
2
(,)49f x y x y =++取得最大值，最大值为
(0,2)044925f ±=+⨯+=，
因此得，2
2
94925x y ≤++≤， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得
22
9(49)25D
D
D
d x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 亦即为 94(1)254D x y d πσπ⨯≤++≤⨯⎰⎰，
整理得 36(1)100D
x y d πσπ≤
++≤⎰⎰。

4．利用二重积分的性质比较下列积分的大小： ⑴
2
()D
x y d σ+⎰⎰与3
()D
x y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成。

【解】积分区域D 如图
由图可见，在区域D 中，01x y ≤+≤，于是由于函数x
y a =（01a <<）是减函数，而知以x y +为底的指数函数是增函数，即由23<有2
3
()()x y x y +>+，
于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得23
()()D
D
x y d x y d σσ+>+⎰⎰⎰⎰。

⑵
ln()D
x y d σ+⎰⎰与2
[ln()]D
x y d σ+⎰⎰，其中{}(,)35,01D x y x y =≤≤≤≤。

【解】积分区域D 如图
由于在区域D 中有35x ≤≤，01y ≤≤，可得36x y ≤+≤， 于是1lne ln 3ln()ln 6x y =<≤+≤，
于是由于函数x
y a =（1a >）是增函数，可知以ln()x y +为底的指数函数是增函数， 即由12<得2
ln()[ln()]x y x y +<+， 于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得
2
ln()[ln()]D
D
x y d x y d σσ+<+⎰⎰⎰⎰。

5．若
1=1D
d σ⎰⎰，则积分区域D 可以是（ ）。

（A ）由x 轴，y 轴与直线2x y +=所围成的区域； （B ）由1x =，2x =及2y =，4y =所围成的区域； （C ）由12x =
，1
2
y =所围成的区域； （D ）由1x y +=，1x y -=所围成的区域。

【解】应填“（C ）”。

因为
11D
D
d S
σ==⎰⎰，而下面各区域D 的面积为：
（A ）由x 轴，y 轴与直线2x y +=所围成的区域如图
得22
212
D S ⨯=
=≠；
（B ）由1x =，2x =及2y =，4y =所围成的区域如图
得(21)(42)21D S =--=≠； （C ）由12x =
，1
2
y =所围成的区域如图
得1111[()][()]12222
D S =----=； 至此，可以终止判断了。

事实上有：
（D ）由1x y +=，1x y -=所围成的区域如图
得2221D S ==≠。