6.7 二重积分的概念与性质

1．利用二重积分定义证明：

(,)(,)D

D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰。

【证明】由二重积分定义

1

(,)lim (,)n i

i

i

i D

f x y d f λ

σξησ→==∆∑⎰⎰，得

1

(,)lim (,)n

i

i

i

i D

kf x y d kf λ

σξησ→==∆∑⎰⎰0

1

lim (,)n

i i i i k f λξησ→==∆∑

1

lim (,)n

i i i i k f λξησ→==∆∑(,)D

k f x y d σ=⎰⎰，

证毕。

2．利用二重积分的几何意义说明：D

kd k σσ=⎰⎰

（k R ∈为常数，σ为积分区域D 的面积）。

【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分(,)D

f x y d σ⎰⎰就是以(,)z f x y =为曲顶

的柱体体积，

于是知，二重积分

D

kd σ⎰⎰表示以平面z k =为顶的柱体体积，

而以平面z k =为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高z k =， 但该柱体的底面积就是积分区域D 的面积σ， 从而得，

D

kd k σσ=⎰⎰。

3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴

()D

xy x y d σ+⎰⎰，其中积分区域{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤；

【解】由于区域{}

(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，可知区域D 的面积为

111D

d σ=⨯=⎰⎰，

而由于01x ≤≤，01y ≤≤，可得01xy ≤≤，02x y ≤+≤， 从而有0()2xy x y ≤+≤，

由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

0()2D

D

D

d xy x y d d σσσ≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰

亦即为 0()2D

xy x y d σ≤+≤⎰⎰。

⑵

(1)D

x y d σ++⎰⎰，其中积分区域{}(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤；

【解】由于区域{}

(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤，可知区域D 的面积为

122D

d σ=⨯=⎰⎰，

而由于01x ≤≤，02y ≤≤，可得03x y ≤+≤， 从而114x y ≤++≤，

由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

1(1)4D

D

D

d x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰

亦即为 2(1)42D

x y d σ≤++≤⨯⎰⎰，整理得2(1)8D

x y d σ≤++≤⎰⎰。

⑶

2

2(49)D

x

y d σ++⎰⎰，其中积分区域{}22(,)4D x y x y =+≤。

【解】由于区域{}

22(,)4D x y x y =+≤，可知区域D 的面积为

2

24D

d σππ=⨯=⎰⎰， 下面求函数2

2

(,)49f x y x y =++在条件2

2

4x y +≤下的最大、最小值， 亦即椭圆抛物面2

2

49z x y =++在圆柱2

2

4x y +=内部的最大、最小值， 易见2

2

40x y +≥，可知2

2

499z x y =++≥，当0x y ==时等号成立， 又可知，椭圆抛物面2

2

49z x y =++与圆柱2

2

4x y +=的交线，在椭圆簇的短轴上

达到最高，亦即当0x =，2y =±时，函数2

2

(,)49f x y x y =++取得最大值，最大值为

(0,2)044925f ±=+⨯+=，

因此得，2

2

94925x y ≤++≤， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得

22

9(49)25D

D

D

d x y d d σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 亦即为 94(1)254D x y d πσπ⨯≤++≤⨯⎰⎰，

整理得 36(1)100D

x y d πσπ≤

++≤⎰⎰。

4．利用二重积分的性质比较下列积分的大小： ⑴

2

()D

x y d σ+⎰⎰与3

()D

x y d σ+⎰⎰，其中积分区域D 由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成。

【解】积分区域D 如图

由图可见，在区域D 中，01x y ≤+≤，于是由于函数x

y a =（01a <<）是减函数，而知以x y +为底的指数函数是增函数，即由23<有2

3

()()x y x y +>+，

于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得23

()()D

D

x y d x y d σσ+>+⎰⎰⎰⎰。

⑵

ln()D

x y d σ+⎰⎰与2

[ln()]D

x y d σ+⎰⎰，其中{}(,)35,01D x y x y =≤≤≤≤。 【解】积分区域D 如图

由于在区域D 中有35x ≤≤，01y ≤≤，可得36x y ≤+≤， 于是1lne ln 3ln()ln 6x y =<≤+≤，

于是由于函数x

y a =（1a >）是增函数，可知以ln()x y +为底的指数函数是增函数， 即由12<得2

ln()[ln()]x y x y +<+， 于是，由二重积分性质6.7.4（不等式性）即得

2

ln()[ln()]D

D

x y d x y d σσ+<+⎰⎰⎰⎰。 5．若

1=1D

d σ⎰⎰，则积分区域D 可以是（ ）

。 （A ）由x 轴，y 轴与直线2x y +=所围成的区域； （B ）由1x =，2x =及2y =，4y =所围成的区域； （C ）由12x =

，1

2

y =所围成的区域； （D ）由1x y +=，1x y -=所围成的区域。 【解】应填“（C ）”。因为

11D

D

d S

σ==⎰⎰，而下面各区域D 的面积为：

（A ）由x 轴，y 轴与直线2x y +=所围成的区域如图

得22

212

D S ⨯=

=≠；