第九章 数项级数 第三节 正项级数

n
1 < 1（n 2) 级数收敛. 2
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§9.3 正项级数
6.柯西判别法的极限形式：
§9.3 正项级数
第九章 数项级数
第三节 正项级数
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ห้องสมุดไป่ตู้9.3 正项级数
引 言 本节在一般的数值级数概念 及其性质基础上,对于一种常用的 重要的数值级数----正项级数和它 的特殊性质以及敛审方法,进行专 门的研究与讨论.
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1 1
n
1 1 1 dx 1 (1 p1 ) 1 p p1 n p1 x
则P 级数收敛.
即sn有界,
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
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n 1
v 发散。
n 1 n
n 1
证明: (1) 若 vn收敛， 设其和为 vn un vn ,
n 1

且 sn u1 u2 un

n 1
n v1 v2
n 1 n
vn ,
即部分和数列有界,

u 收敛.
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§9.3 正项级数
4.比较审敛法的极限形式:
设
u n 与 v n 都是正项级数
n 1 n 1



un l, , 如果 lim n vn
;

则 (1) 当 0 l 时 , 二级数有相同的敛散性
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛 , 则 un 收敛 ; n 1
l 3l 即 vn un vn ( n N ) 2 2
由比较审敛法, 得证.
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§9.3 正项级数
1 例3: 判定级数 sin 的敛散性. n 1 n 1 sin n 1, 而级数 1发散，由比较判别法知 解: lim ， n 1 n 1 n n 1 级数 sin 也发散. （已知发散的参考级数） n n 1

利用比较判别法,把要判定的级数与几何级数 比较,可得两个很有用的判别法(柯西判别法和达朗 贝尔判别法)
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§9.3 正项级数
1 q Sn q q(1 q q q ) q (q 1), 1 q k 1 q 则有 lim Sn （q 1), n 1 q
n n 1 1 1 p dx dx(n 2,3, L ), p p n 1 n 1 n n x
n
x
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§9.3 正项级数
1 级数 p的部分和 n 1 n

2 dx n dx 1 1 1 s n =1+ p + p + L + p 1 p + L + p 1 x n-1 x 2 3 n
n 1
(3) 当 l 时 , 若
v n 发散 ,则 u n 发散 ;
n 1 n 1


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§9.3 正项级数
un l l 对于 0, 证明: (1) 由lim n v 2 n
l un l N , 当n N时, l l 2 vn 2
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正项级数收敛 部分和所成的数列 Sn 有上界.
§9.3 正项级数
3.比较审敛法 设 un和 vn均为正项级数，
n1 n1
（1）若 vn收敛，则 un收敛；
（2）若 un发散， 则

n 1

且un v（ ， 2， L ）， n n 1
n k 2 n 1 n
n 几何级数指形如 q （ q 0)的级数, 其部分和为 n 1

当q 1时发散(一般项不趋于0)
即几何级数 q n，
n 1
当q 1时收敛;
当q 1时发散.
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§9.3 正项级数
5.柯西判别法： （根值判别法） 正项级数 un，
(1)若对一切n > N 0 , 成立不等式
（q为确定的常数）n un q < 1, 则级数
n
n 1
u 收敛；
( 2)若对一切n > N 0 , 成立不等式
n
un q 1, 则级数 un发散.

1 例如, 设级数 n , n1 n
1 1 un n n n n
§9.3 正项级数
正项级数概念及其审敛法 1.定义: 如果级数
u 中各项均非负，即u
n1 n

n
0，
这种级数称为正项级数. 显然对于正项级数 部分和数列 Sn 为单调增加数列.
s1 s2
2.基本定理:
sn
若该数列有上界则极限存在 若无上界则发散到

若正项级数的部分和数列无上界,则此级数发散到
§9.3 正项级数
例 1 证明级数
n 1

1 发散. n( n 1)
加
证明:
1 1 , n( n 1) n 1

（已知发散的 参考级数）
1 而级数 发散, n 1 n 1 1 级数 发散. n1 n( n 1)
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§9.3 正项级数 1 例2：讨论正项级数 p的敛散性（p R）.（P-级数） n=1 n
解： 此级数的敛散性与数P取值有关，分别讨论： n 1 （1）当p=1时，级数就是调和级数 ，故发散； i 1 n
1 1 （2）当p<1时，n N +，有 p ， n n n 1 由调和级数 发散，根据比较判别法知发散； i 1 n 1 1 （3）当p>1时， 由n-1 x<n，有 p P ,