圆锥曲线联立及韦达定理

圆锥曲线联立及韦达定理

1、圆锥曲线与直线的关系

椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定： 椭圆：22

221x y a b

+=(0)a b f f 双曲线：22

221x y a b

-=(0)a b f 、 直线：y kx m =+

(PS ：这里并没有讨论椭圆的焦点在y 轴、双曲线的焦点在y 轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充)

（1）椭圆与双曲线联立：

2

2

2222212()10k km m x x a b b b

+++-= (PS ：联立时选择不通分，原因？看完就知道了)

类一元二次方程：2

0Ax Bx C ++= 2

221()k A a b

=+，所以0A f ，即方程为一元二次方程。 判别式：2

4B AC ∆=- 22

2222221()4()(1)km k m b a b b

∆=-+- 化解得：22

222214()k m a b a b

∆=+- 1) 当0∆p ，方程无实根，直线与椭圆没有交点；

2) 当0∆=，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切；

（相切是因为重根，而不是只有一个根）

3) 当0∆f ，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交.

（2）双曲线与直线联立：

2

2

2222212()10k km m x x a b b b

----= 类一元二次方程中，2221()k A a b =-，22()km B b

=- 22

222214()k m a b a b

∆=-+ 1) 当0,0A B ==时，方程为10-=，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）

2) 当0,0A B =≠时，方程为一元一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线

的平行线）

3) 当0,0A ≠∆p 时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离；

4) 当0,0A ≠∆=时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切；

5) 当0,0A ≠∆f 时，一元二次方程有两个不同实数解，直线与双曲线相交.

PS ：注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同！

2、联立方程与韦达定理

（1）韦达定理：

20Ax Bx C ++=运用韦达定理的前提：0,0A ≠∆≥ 12B x x A +=-

， 12C x x A =，

12x x A

-== （2）椭圆与直线联立相关的韦达定理： 2

2

2222212()10k km m x x a b b b

+++-= 2122

22

21km

b x x k a b -

+=+； 2

21222211m b x x k a b -=+；

1222x x a b

-=+ 由y kx m =+可得到关于y 的韦达定理： 121212()()()2y y kx m kx m k x x m +=+++=++

22

2222

22212()1k m k m b a b k a b

-++=+ 212222

21m

a y y k a

b +=+； 2212121212()()()y y kx m kx m k y y km x x m =++=+++