数学分析期末试题A答案

山东师范大学20**-20**学年第一学期期末考试试题

（时间：120分钟 共100分）

课程编号：4081103 课程名称：数学分析适用年级：20** 学制:_4_ 适用专业：应用数学\信息计算 试题类别：(A)

一、

单项选择题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）

1.122

0lim

1dx

x α

ααα+→=++⎰. ( B )

A. 2π

B. 4

π

C. D.

2.

()L

x y ds +=⎰其中是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 （ A ）

A.1+

B. 1

C.

D. 0 3.

()L

y x dy -=⎰ .，其中L 为直线,AB (1,1),(2,3)A B （ A ）

A. 1

B.2

C.

1

2

D.3 4 S

yzdxdy =⎰⎰,其中是球面222

1x y z ++=的上半部分并取外侧为正向。( D )

A. 2

B.

C. 1

D. 0 5.L

ydx xdy +=⎰

. , 其中22:1L x y +=　（ A ）

A. 0B. 1 C. 2D.3

填空题：（本题共5小题, 每小题4分，共20分）

1.

22()D

x y dxdy +=⎰⎰2

π,其中22

:1D x y +≤ 2.

V

xyzdxdydz =

⎰⎰⎰1

8

.其中:01,01,01V x y z ≤≤≤≤≤≤ 3. 将(,)D

I f x y d σ

=

⎰⎰ 化成先对x 后对y 的累次积分为

244

2

2

(,)y y dy f x y dx +-⎰

⎰其中D 由

24,2y x y x =-=围成。

4. 设是半圆周

,0,

sin ,cos :π≤≤⎩⎨

⎧==t t a y t a x L

则第一型曲线积分

()2

2L

x

y

ds +=⎰3a π

5. 格林公式建立了区域上二重积分与的边界曲线的第二型曲线积分之间的联系。设函数

(,),(,)P x y Q x y 在闭区域上连续，且有一阶连续的偏导数，则格林公式可表示为

L

Pdx Qdy +=

⎰

(

)D

Q P

dxdy x y

∂∂-∂∂⎰⎰。

(本题共2小题，每题10分, 共20分）

1．计算2

2y D

I x e dxdy -=

⎰⎰，其中D 由0,1x y y x ===及围成。 解：此三条直线的交点分别为(1,1)，(0,1)，(0,0)，所围区域如下图。 。。。。。。。。。3分

先对x 后对y 积分：

学号 姓名 院（部） 专业 考试时间：20**年1月 日

------------------------------------------------密--------------------封----------------------线-----------------------------------------------------------------

2

120

y

y I dy x e dx -=⎰⎰ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

21

3001[]3

y y

x e dy -=⎰ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 2130111

363y y e dy e

-==-⎰。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

2. 计算

xdxdydz Ω

⎰⎰⎰，其中是三个坐标面与平面x + y + z =1所围成的区域

解 画出区域D ：

0101

y x

x ≤≤-≤≤ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分

xdxdydz Ω⎰⎰⎰

11

10

x y

x

dx dy

xdz ---=⎰⎰⎰

。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

110

(1)x

dx x x y dy -=--⎰⎰ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

1

2011

(1)224

x x dx =-=⎰ 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分

四、

得分 阅卷人

（本题共2道小题，每题10分，共20分）

1. 计算

⎰⎰

d d ,S

xyz x y 其中S 是球面

++=222

1

x y z 在

≥≥0,0

x y 部分并取球面的外侧。

解曲面S 在第一、五卦限部分的方程分别为

=--=--22

1122

22:1,

:1.

S z x y S z x y 。。。。。。。。。。3分

它们在xy 平面上的投影区域都是单位圆在第一象限部分. 因积分是沿1

S 的上侧和

2

S 的下

侧进行, 故

=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

1

2

d d d d d d S

S S xyz x y xyz x y xyz x y 。。。。

6分

(=

---

---⎰⎰

⎰⎰()

()

22

22

1d d 1d d xy xy D D x y x y x y x y

=--⎰⎰()2

2

21d d xy D x y x y

。。。。。。。。。。。。。。。

。。。。。。。。8分

=-⎰

⎰π1

3

2

20

02

2d cos sin 1d =.

15

r r r θθθ 。。10

分