离散数学第七章

e2，…，eq} 。定义矩阵M(G)=(mij)，其中
mij=
{
1
若vi关联ej 若vi不关联ej
0
则称矩阵M(G)是图G的完全关联矩阵。
第七章图论
v1
e1
课本P294图7-3.5
v2
e2
e6
e5
e3
v5
e1 e2 e3 e4 e5 e6
1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
2在给定简单有向图的邻接矩阵中，第i行元素是由结 点vi出发的弧所确定，故第i行中值为1的元素数目 等于结点vi的出度。同理，第j列中值为1的元素数 目等于结点vj的入度。
第七章图论
邻接矩阵的乘积意义：
由给定简单图G的邻接矩阵A可计算出矩阵A的l
次幂，即Al。若第i行第j列上的元素alij便是G
中从第i个结点vi到第j个结点vj长度为l的路的
a
r
a

A(k)
k 1
其实求图的可达性矩阵问题与关系的传递闭包 矩阵问题是同一个问题，也可以用warshall算法。 很容易将可达矩阵推广到无向图中
第七章图论
无环图的完全关联矩阵 假定图G无自回路
定义10.3.3 给定无向图G=<V，E>，将其结点按
下标编序得V={v1，v2，…，vp} E={e1，
a
r ij
≥1，就表明vi可达vj或vi到
vj存在一条路。但这种计算繁琐量大，又不知计算 Ar 到何时为止。
第七章图论
根据定理10.2.2可知，对于有n个结点的图，任 何通路的长度不大于n-1和任何圈的长度不大 于n。因此，只需考虑
a
r
ij
就可以了，其中
1≤r≤n。即只要计算Bn=A+A2+A3+· · · +An。 如果关心的是结点间可达性或结点间是否有路， 至于结点间的路存在多少条及长度是多少无关 紧要，那么便可用下面的定义图的可达矩阵来 表示结点间可达性。
第七章图论
一个简单图G=<V，E>由V中每两个结点间的邻接 关系唯一地确定，这种关系可以用一个矩阵给
出，而矩阵形式与图中结点的编序有密切关系，
这是用矩阵表示图值得注意的一点。
第七章图论
定义10.3.1 给定简单图G=<V，E>，V={v1，v2，…， vn}，V中的结点按下标由小到大编序，则n阶方阵 A=(aij)称为图G的邻接矩阵。其中
第七章图论
例:求图G所示的关联矩阵。
e2
2 3
e3 e1
1
e5
e6
5 4
e4
1 2 M (G ) 3 4 5
e1 e2 e3 e4 e5 e6
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
第七章图论
v2
v4
v1
v3
0 1 B(G ) 1 0
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
结点编序不同矩阵的关系： 对于给定图G，显然不会因结点编序不同而使其结构发 生任何变化，即图的结点所有不同的编序实际上仍表 示同一个图。换句话说，这些结点的不同编序的图都 是同构的，并且它们的邻接矩阵都是相似的（置换等 价）。于是
数目。为说明此事实，今给出下面定理。 定理10.3.1 设A为简单图G的邻接矩阵，则Al中 的i行j列元素alij等于G中联结vi到vj的长度为l的 路的数目。
证明：略。
第七章图论
在一些实际问题中，有时要判定图中结点 vi到结点 vj 是否可达，或者说 vi到 vj是否存在一条路。如果要利 用图 G的邻接矩阵 A，则应计算 A2 ， A3 ， · · · ， An， · · · 。 当发现其中某个Ar中
v4
1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0
vv 1 2
v1 v1 v2 v2 v3 v4
v2 v1
v3
1 v1 v2 0 0 B(G ) v3 v3 1 1 v4 v4 1 0
v2 v1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
第七章图论
无向图邻接矩阵的特点
1当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵是对称矩 阵； 2反之，若给定任何对称矩阵A，显然可以唯一地作 出以A为其邻接矩阵的简单图G。 3第i行或列中值为1的元素数目等于结点vi的度数
第七章图论
有向图邻接矩阵特点：
1当给一的图是简单有向图时，其邻接矩阵并非一定
是对称矩阵。
1, vi adj v j i，j=1，2，…，n aij 0, v nadj v i j
有时为强调邻接矩阵依赖于图G，把图G的邻接矩阵 记为A(G)。 邻接矩阵对无向图和有向图都适用.
例题1：如下图，写出它的邻接矩阵
第七章图论
A B E
C
D
0 1 A(G ) 1 1 1
第七章图论
定义10.3.2 给定有向图G=<V，E>，将其结点按下
标编序得V={v1，v2，…，vn}。定义一个n阶方阵
P=(pij)，其中
Pij=
{
1
vi到vj至少存在一条路 否则
0
则称矩阵P是图G的可达矩阵。
第七章图论
可见，可达矩阵表明了图中任意两结点间是否至少
存在一条路以及在结点处是否有回路。
7.3 图的矩阵表示
第七章图论
10.3 图的矩阵表示
给定一个图 G=<V ， E>，使用图形表示法很容易把 图的结构展现出来，而且这种表示直观明了。但 这只在结点和边 ( 或弧 ) 的数目相当小的情况下才 是可行的。显然这限制了图的利用。本节提供另 一种图的表示法 ——图的矩阵表示法。它不仅克 服了图形表示法的不足，而且这种表示可以充分 利用现代工具电子计算机，以达到研究图的目的。
第七章图论
GH存在置换矩阵P，使A(H)=P-1A(G)P
今后将略去这种由于V中结点编序而引起邻接矩阵的任 意性，而取该图的任一个邻接矩阵作为该图的矩阵 表示。
邻接矩阵可展示相应图的一些性质： 若邻接矩阵的元素全为零，则其对应的图是零图；
若邻接矩阵的元素除主对角线元素外全为1，则其对应 的图是连通的且为简单完全图。
要注意的是Ar与A(r)的差别。Ar中 ij表明从vi到vj长 (r ) ( r ) 度为r的路的数目，而A 中a ij是指出：若vi到vj至 (r ) (r ) 少存在一条路时， a ij =1，否则， ij =0。 由上说明，便得到可达矩阵 P为： n
P=AA(2)A(3)· · · A(n)=
个布尔矩阵B与C的运算： 令B和C的布尔和、布尔积分别记为BC和BoC，其定 义为 (BC)ij = (bijcij) (BoC)ij =

n
(bikckj)
i,j=1,2,· · · ,n。其中bij，cij分别是B和C的i行j列元素。
k 1
第七章图论
特别地，对于邻接矩阵A，记AoA=A(2)，对任何 r=2,3,· · · ,有A(r-1)oA=A(r)
v4
e4
v3
v1 v2 M (G ) v3 v4 v5
第七章图论
从完全关联矩阵可看出无向图的性质：
1）图中每一条边关联两个结点，故M(G)每一列 只有两个1. 2）每一行中元素的和数都是对应结点的度数. 3）一行中元素全为0，则该结点为孤立结点. 4）两个平行边对应的两列相同. 5）同一个图当结点或边编号不同M(G)中仅有行 序和列序的差别.
从图G的邻接矩阵A可以得到可达矩阵P，即令
Bn=A+A2+A3+…+An，再从Bn中非零元素改为1
而零元素不变，这种变换后的矩阵即是可达矩阵 P。
第七章图论
因为可达性矩阵是一个元素为 0 或 1 的布尔矩阵，在每
个Ai矩阵中我们对两个结点间路的数目并不感兴趣，
我们只关心两个结点间是否有路。因此下面定义两
第七章图论
定义10.3.4 给定有向图G=<V，E>，将其结点按
下标编序得V={v1，v2，…，vp} E={e1，
e2，…，eq} 。定义矩阵M(G)=(mij)，其中
mij=
{
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若vi是ej的起点 若vi是ej的终点 若vi与ej不关联
则称矩阵M(G)是图G的完全关联矩阵。 见课本P295图7-3.6
第七章图论
从完全关联矩阵可看出有向图的性质：
1）图中每一条边关联两个结点，故M(G)每一列 只有一个1，和一个-1. 2）每一行中元素1的个数是对应结点的出度，每 一行中元素-1的个数是对应结点的入度.
3）一行中元素全为0，则该结点为孤立结点.
4）两个平行边对应的两列相同.
5）同一个图当结点或边编号不同M(G)中仅有行 序和列序的差别.
作业P300（3）