(名师整理)最新数学中考专题复习《三角形的内心与外心》考点精讲精练
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学中考专题考点精讲精练
第六单元 圆 第30讲 三角形的内心与外心
考点解读
三角形与圆 1．确定圆的条件：过一点可以作①无数 个圆；过两点的圆有②无数 个，其圆心在③这两点连线的中垂线 上；④ 不在同一直线上的 三个点可以 确定一个圆．
2．三角形的外接圆与内切圆 外接圆
内切圆
图形
圆心是三角形的外心，三条边 圆心是三角形的内心，三个
(3)证明：在图2中， ∵∠PCA＝2×7.5°＝15°，∠BCE＝∠ACB－∠PCA＝75°，∠ECA＝ ∠EBA＝15°，∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝75°， ∴∠BCE＝∠EBC. ∴BE＝EC.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
在数学的天地里，重要的不是我们知 道什么，而是我们如何知道什么
-------毕达哥拉斯
【自主解答】
解：(1)连接OC. ∵射线CP与△ABC的外接圆相切， ∴∠OCP＝90°. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴射线CP旋转度数是120°.
(2)∵∠BCA＝90°， ∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆． 当CP过△ABC外心时(即过O点)，∠BCE＝60°. ∴∠BOE＝120°，即E处的读数为120. 当CP过△ABC的内心时(如图1)，∠BCE＝45°，∠EOB＝90°， ∴E处的读数为90.
圆心
中垂线的交点
内角的平分线的交点
三角形的外心到三角形的三个 三角形的内心到三角形的三
性质
顶点的距离⑤相等
条边的距离⑥ 相等
外接圆
内切圆
Hale Waihona Puke ∠BOC＝2∠A，∠OBC＝ 角度关系
⑦ ∠OCB
∠BOC＝90°＋12∠A
从三角形中任意选两条边，分 从三角形中任意选两个角，
判断
别作它们的中垂线，其交点即 分别作它们的角平分线，其
方法
为三角形的外心
交点即为三角形的内心
外接圆 作法
内切圆
【温馨提示】 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外 心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的(B ) A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点
【方法指导】 (1)在图1中，∠BOC＝2∠A；
(2)在图2中，∠BOC＝90°＋12∠A；
(3)直角三角形的外接圆半径与内切圆半径的求法：如图3，Rt△ABC
的外接圆半径O1A＝
c 2
；Rt△ABC的内切圆半径O2D＝
a＋b－c 2
或O2D＝
ab a＋b＋c.
重难点选讲
重难点 三角形的内心与外心 (2019·河北模拟)如图是一块含30°(即∠CAB＝30°)角的三角板
2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的
外心是(B )
A．D点
B．E点
C．F点
D．G点
3．如图为5×5的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是 ( B)
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
4．如图，点F是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BFC＝( B ) A．100° B．115° C．130° D．135°
和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合， 其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0)，现有射线CP绕着 点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止．在旋 转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于点E.
(1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少？ (2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多 少？ (3)当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE＝CE.
第六单元 圆 第30讲 三角形的内心与外心
考点解读
三角形与圆 1．确定圆的条件：过一点可以作①无数 个圆；过两点的圆有②无数 个，其圆心在③这两点连线的中垂线 上；④ 不在同一直线上的 三个点可以 确定一个圆．
2．三角形的外接圆与内切圆 外接圆
内切圆
图形
圆心是三角形的外心，三条边 圆心是三角形的内心，三个
(3)证明：在图2中， ∵∠PCA＝2×7.5°＝15°，∠BCE＝∠ACB－∠PCA＝75°，∠ECA＝ ∠EBA＝15°，∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝75°， ∴∠BCE＝∠EBC. ∴BE＝EC.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
在数学的天地里，重要的不是我们知 道什么，而是我们如何知道什么
-------毕达哥拉斯
【自主解答】
解：(1)连接OC. ∵射线CP与△ABC的外接圆相切， ∴∠OCP＝90°. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴射线CP旋转度数是120°.
(2)∵∠BCA＝90°， ∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆． 当CP过△ABC外心时(即过O点)，∠BCE＝60°. ∴∠BOE＝120°，即E处的读数为120. 当CP过△ABC的内心时(如图1)，∠BCE＝45°，∠EOB＝90°， ∴E处的读数为90.
圆心
中垂线的交点
内角的平分线的交点
三角形的外心到三角形的三个 三角形的内心到三角形的三
性质
顶点的距离⑤相等
条边的距离⑥ 相等
外接圆
内切圆
Hale Waihona Puke ∠BOC＝2∠A，∠OBC＝ 角度关系
⑦ ∠OCB
∠BOC＝90°＋12∠A
从三角形中任意选两条边，分 从三角形中任意选两个角，
判断
别作它们的中垂线，其交点即 分别作它们的角平分线，其
方法
为三角形的外心
交点即为三角形的内心
外接圆 作法
内切圆
【温馨提示】 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外 心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的(B ) A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点
【方法指导】 (1)在图1中，∠BOC＝2∠A；
(2)在图2中，∠BOC＝90°＋12∠A；
(3)直角三角形的外接圆半径与内切圆半径的求法：如图3，Rt△ABC
的外接圆半径O1A＝
c 2
；Rt△ABC的内切圆半径O2D＝
a＋b－c 2
或O2D＝
ab a＋b＋c.
重难点选讲
重难点 三角形的内心与外心 (2019·河北模拟)如图是一块含30°(即∠CAB＝30°)角的三角板
2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的
外心是(B )
A．D点
B．E点
C．F点
D．G点
3．如图为5×5的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是 ( B)
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
4．如图，点F是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BFC＝( B ) A．100° B．115° C．130° D．135°
和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合， 其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0)，现有射线CP绕着 点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止．在旋 转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于点E.
(1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少？ (2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多 少？ (3)当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE＝CE.