浅谈三角函数中“1”的妙用

浅谈三角函数中“1”的妙用

三角函数内容是新课程标准中删减、变化最大的内容之一，但是它仍然是高考的重点。许多同学在学习三角函数的时候感到很吃力，认为计算量很大，公式很多。下面笔者就从下面几道题为例，谈谈“1”在解某些三角函数问题时的妙用。

一 巧用sin 2a+cos 2a=1

2

tan 3,2sin 3sin cos a a a a =-例1：已知求的值

本题有多种解法，最常见的是根据tana 的值，求出sina 和cosa 的值，然后代入计算，但是这里要注意到a 所在的象限。这里介绍如何巧用“1”来求值。

2

22

2

2

22

22sin 3sin cos 1

2sin 3sin cos sin cos 2tan 3tan tan 12333

31910

a a a

a a a

a a a a

a -=

-=+-=+⨯-⨯=+=

解：原式

这里用到了平方关系sin 2a+cos 2a=1，就不用考虑a 所在的象限，计算也比较简便。

22

1,1

a b

+=+=例2：已知求证

2

2

101011b

a

a b -≥-≥≤≤由于，，得，，根究结构特点，

可考虑利用三角代换来解答本题。

证明：由已知可得22

1010b a -≥-≥，，

所以11a b ≤≤，， 设a=cos ,b=cos 00αβαπβπ≤≤≤≤，且，

，由已知得

2

2

2

2

2

2

22

cos cos 1,

cos sin cos sin 1,sin()1

022

2

cos cos cos cos sin cos 1

2

a b

αβ

αββααβπ

π

αβπαββα

π

αβαααα+=+=+=≤+≤+==

-+=+=+-=+=即所以又，所以，即所以（

）

二 巧用tan450=1

00000

3(1tan 1)(1tan 2)(1tan 3)...(1tan 44)(1tan 45)+++++例计算

23

45(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan 1tan tan tan tan 2[(1tan 1)(1tan 44)][(1tan 2)(1tan 43)]...[(1tan 22)(1tan 23)](1tan 45)

2

αβαβαβαβ

αβαβαβ=++=+++=++-+==+++++++=解：当+时，（）（）所以

原式 三 巧用tanacota=1

4tan 6730'tan 2230'-例计算

本题看似无从下手，但如果我们能够发现000

6730'2230'45-=,解本题也就不难了。 但当我们继续算下去时会发现出现00

tan 6730'tan 2230'这个式子，这时我们

就要想到00tan 6730'cot 2230'=，于是00tan 6730'tan 2230'=00

cot 2230'tan 2230'1=

00

tan 6730'tan 2230'tan 45tan(6730'2230')1tan 6730'tan 2230'

tan 6730'tan 2230'tan 451tan 6730'tan 2230'1tan 6730'tan 2230'1cot 2230'tan 2230'1

-=-=

+-=++=+=解：所以（）= 四 巧用t a n t a n

t a n ()

1t a n

t a n

αβαβαβ±±=

1tan 54cot(

)1tan 4

απαα

-=+

++例已知

求

由题意可知只需求出tan(

)4

πα+即可，而

tan tan 1tan 4

tan()1tan 4

1tan

tan 4

πα

απαπα

α

--=

=-++

所以可以从另一个角度考虑cot(

)cot[

(

)]tan(

)4

2

4

4

ππππααα+=--=-

解：因为tan

tan 1tan 4

tan(

)44

1tan 1tan

tan 4

πα

πααπα

α

---=

==+++

所以cot(

)cot[

(

)]tan(

)44

2

4

4

ππππααα+=--=-=+结束语：三角函数看似很难，因为这里有很多公式，如果能够灵活运用这些公式及公式的变形，

以及巧妙运用题中所给的隐含条件，相信三角函数就不会成为你学习途中的障碍了。

参考文献：1 《尖子生学案》 吉林人民出版社

2 普通高中新课程标准实验教科书 数学 必修4 A 版 人民教育出版社