三角形面积公式的向量形式及其应用举例

S∆OAB =
��� � ���� ��� � � 3 ���� 1 ��� 1 3 1 3 设 OA = ( x1 , y1 ) ， OC = ( x2 , y2 ) ， 则 OB = − OA − OC = ( − x1 − x2 , − y1 − y2 ) ， 2 2 2 2 2 2 ��� � ��� � ��� � ���� ���� ��� � 3 3 3 3 AB = OB − OA = (− x1 − x2 , − y1 − y2 ) , AC = OC − OA = ( x2 − x1 , y2 − y1 ) . 2 2 2 2
��� �
��� �
��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � ��� � 1 1 又由 kOA + OB = 3 OA − kOB 得， (kOA + OB )2 = 3(OA − kOB )2 ，化简得， OA ⋅ OB = ( k + ) . 4 k 由 三 角 形 面 积 公 式 得 ，
3 . 4
x2 1 + y 2 = 1 上两个动点，且直线 OA, OB 的斜率之积等于 − ，试探求 4 4
∆OAB 的面积是否为定值，并说明理由. 分 析 设 动 点 A, B 的 坐 标 分 别 为 A(2cos α ,sin α ), B (2cos β ,sin β ) ， 则 由 sin α sin β 1 kOA ⋅ kOB = = − 得， cos α cos β + sin α sin β = 0 ，即 cos(α − β ) = 0 . 4cos α cos β 4
S∆ABC
��� � ���� � ���� ��� � ���� � ���� 1 ��� ( AB ⋅ AC ) 2 1 1 ��� = AB ⋅ AC ⋅ sin < AB, AC > = AB ⋅ AC ⋅ 1 − ��� � 2 ���� 2 = 2 2 2 AB ⋅ AC
��� � 2 ���� 2 ��� � ���� AB ⋅ AC − ( AB ⋅ AC )2 .
由 三 角 形 面 积 公 式 得 ，
1 2cos α sin β − 2cos β sin α = cos α sin β − cos β sin α = sin(α − β ) = 1 . 2 x2 y 2 评注 本题结论可推广到更为一般的情况：若 A, B 是椭圆 C : 2 + 2 = 1 （ a > b > 0 ）上两个动 a b 2 b 1 点，且直线 OA, OB 的斜率之积等于 − 2 ，则 ∆OAB 的面积为定值 ab . a 2 ��� � ��� � ���� � 例 5 设 O 点在 ∆ABC 内部，且 OA + 2OB + 3OC = 0 ，则 ∆OAC 与 ∆ABC 的面积之比为 .
��� � ���� 1 ∆ABC 中，设 AB = 百度文库 x1 , y1 ) ， AC = ( x2 , y2 ) ，则其面积 S∆ABC = x1 y2 − x2 y1 . 2 ��� � ���� ��� � ���� 2 2 1 1 2 2 证明 由（1）知， S∆ABC = AB ⋅ AC − ( AB ⋅ AC ) 2 = ( x12 + y12 )( x2 + y2 ) − ( x1 x2 + y1 y2 )2 2 2 1 2 2 1 2 2 = x1 y2 − 2 x1 x2 y1 y2 + x2 y1 = x1 y2 − x2 y1 . 2 2
当 2θ =
π π ，即 θ = 时， S∆OAB 取得最小值. 2 4
��� � ���� ��� � ���� （2012 年全国高中数学联赛一试 B 卷试题）在 ∆ABC 中，若 AB ⋅ AC = 7 ， AB − AC = 6 ，
例2
则 ∆ABC 面积的最大值为 . ��� � ���� ��� �2 ��� � ���� ���� 2 ��� � 2 ���� 2 分析 将 AB − AC = 6 两 边 平 方 ， 得 AB − 2 AB ⋅ AC + AC = 36 ， 即 AB + AC = 50 ， 故
公式 2 2、应用举例 运用上述公式，可以解决诸多与三角形面积有关的问题. 在 ∆OAB 中， O 为坐标原点， A(1,cosθ ) ， B (sin θ ,1) ，其中 θ ∈ [ , ] ，则当 θ = 6 3 时， ∆OAB 的面积最小. ∆OAB 的面积最大；则当 θ = 分析 由题意知 OA = (1,cos θ ) ， OB = (sin θ ,1) ，由三角形面积公式得， S∆OAB = 例1
S∆OAB =
1 2
��� � 2 ��� � 2 ��� � ��� � 1 1 1 1 1 3 OA ⋅ OB − (OA ⋅ OB) 2 = 1 − (k + )2 ≤ 1 − × 22 = ,当且仅当 k = 1 时等号 2 16 k 2 16 4
成立.即 k = 1 时， ∆OAB 面积取得最大值 例4 已知 A, B 是椭圆 C :
��� � 2 ���� 2 AB + AC ��� � ���� ��� � ���� AB ⋅ AC ≤ = 25 （当且仅当 AB = AC = 5 时等号成立）. 2
-1-
爱思考 由 三 角 形 面 积 公 式 ， 得 S∆ABC =
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1 2
��� � 2 ���� 2 ��� � ���� 1 AB ⋅ AC − ( AB ⋅ AC ) 2 ≤ 252 − 7 2 = 12 . 即 当 2
��� � ���� AB = AC = 5 时， ∆ABC 面积取得最大值 12.
例3
在 ∆OAB 中， O 为坐标原点， A, B 为单位圆上两动点，且满足 kOA + OB = 3 OA − kOB
��� � ��� �
��� �
��� �
（k >0） ，求 ∆OAB 面积的最大值. 分析 因为 A, B 在单位圆上，故 OA = OB = 1 .
∆ABC 的面积 S∆ABC =
��� � ���� ��� � ���� ��� � ���� AB ⋅ AC 因 为 cos < AB, AC >= ��� � ���� ， 故 sin < AB, AC >= 1 − AB ⋅ AC
1 2
��� � 2 ���� 2 ��� � ���� AB ⋅ AC − ( AB ⋅ AC )2 . ��� � ���� ( AB ⋅ AC )2 ��� � 2 ���� 2 ， 所 以 AB ⋅ AC
分析 由 三 角 形 面 积 公 式 得 ，
S∆OAC =
1 x1 y2 − x2 y1 2
，
S∆O = ABC =
1 3 3 3 3 3 (− x1 − x2 )( y2 − y1 ) − ( x2 − x1 )(− y1 − y2 ) = x1 y2 − x2 y1 . 2 2 2 2 2 2
所以， 评注
S ∆OAC 1 = . S ∆ABC 3
本题的解法多种多样，但运用三角形面积公式的向量形式解决，思路更为简洁.
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π π
时，
��� �
��� �
1 1 − sin θ cosθ 2
=
1 1 1 − sin 2θ . 2 2
π π π 2π π 2π π π 因为 θ ∈ [ , ] ⇒ 2θ ∈ [ , ，即 θ = 或 时， S∆OAB 取得最大值； ] ，所以当 2θ = 或 6 3 3 3 3 3 6 3
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三角形面积公式的向量形式及其应用举例
朱贤良（246740 安徽省枞阳县会宫中学） E-MAIL:zxl.ah@163.com 平面向量作为一种工具，在解题时有看广泛的应用.新课程高考考试大纲对此明确要求：会用向 量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.本文 利用平面向量知识，推导三角形面积公式的向量形式，并举例说明其应用. １、三角形面积公式的向量形式 公式 1 证 明