习题选解1
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第一章行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
2 0 1 a b c （1）1− 4 − 1 ；（2）b c a
− 1 8 3 1 1 1c a b
x y x + y
（3）a b
a2 b2
2c ；（4）y
c2 x + y
0 1
x + y x .
x y
解（1） 1 −4
− 1 8− 1 = 2×(−4)×3 + 0×(−1)×(−1)+1×1×8
3
−0×1×3 − 2 ×(−1)×8 −1×(−4)×(−1)
=−24 + 8 +16 −4
=−4
a （2）b
c b c
c a = acb + bac + cba −bbb −aaa −ccc a b
= 3abc −a3 −b3 − c 3
1（3）a
a2
1 1
b c
b 2 c2
= bc2 + ca2 + ab2 −ac2 −ba2 −cb2
= (a −b)(b −c)(c −a)
x
（4）y
x + y
y
x + y
x
x + y
x
y
= x(x +y)y +y x(x +y) + (x +y)yx −y3 −( x
+
y)3 −x3
= 3 x y( x+ = −2( x 3 +y) −
y 3 )
y 3 − 3 x2 y − 3 y2 x −x 3 −y 3 −x 3
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：
a
（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n − 1) 2 4 … (2n ) ；
（6）1 3 … (2n − 1) (2n ) (2n − 2) … 2. 解（1）逆序数为 0
（2）逆序数为 4：4 1，4 3，4 2，3 2
（3）逆序数为 5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为 3：2 1，4 1，4 3
（5）逆序数为 n (n − 1) ：
2
3 2 1 个 5 2，5
4 2 个 7 2，7 4，7 6 3 个 ……………… … (2n − 1)
个
2， (2n − 1) 4， (2n − 1) 6，…， (2n − 1) (2n − 2)
(n − 1)
（6）逆序数为 n (n − 1) 3 2 1 个 5 2，5 4 2 个 ……………… … (2n − 1) 2， (2n − 1) 4， (2n − 1) 6，…， (2n − 1) (2n − 2)
(n − 1) 个
4 2 1 个 6 2，6 4 2 个 ……………… … (2n ) 2， (2n ) 4， (2n ) 6，…， (2n ) (2n − 2) (n − 1) 个
3.写出四阶行列式中含有因子 a 11a 23 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 (−1) t 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 a 4 p 4 ，其中 t 为 p 1 p 2 p 3 p 4 的逆序数．由于 p 1 = 1, p 2 = 3 已固定， p 1 p 2 p 3 p 4 只能形如 13 □□，即 1324 或 1342.对应的 t 分别
为
0 + 0 + 1 + 0 = 1 或 0 + 0 + 0 + 2 = 2
∴ − a 11a 23 a 32 a 44 和 a 11a 23 a 34 a 42 为所求.
4.计算下列各行列式：
0 0 − 2 =0 17 17 14
7 2 d 2 ⎣ ⎦3
⎢ 4 1
⎢ 2 4⎥
⎥ ⎢2 1 ⎢ 4
1⎥ ⎥ （1） ⎢ 1
2 0 2⎥ ； （2）
⎢3 − 1 2 1⎥ ； ⎢10 5 ⎢ ⎣ 0
1 2 0⎥
⎥ 1 ⎦
⎢1 2 ⎢5 0 3 2⎥
⎥ 6 ⎦
⎢− ab ac
ae ⎥ ⎢ a 1 ⎢ 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− 1 b 1 0 ⎥ （3） ⎢ bd ⎢⎣ bf 解
− cd cf de − ef ⎥ ； （4）
⎢ 0 ⎥⎦ ⎢ ⎣ 0 − 1 c 1 ⎥
0 − 1 ⎥
4
1 (1)
10
0 4 = 1 10
4 = 1 1 2 4 2
0 2
5
2 0
1 1 7
− 1 − 10 2
2 3 − 14
− 1 10 2 − 2 4 c 2 − c 3 1 c 4 − 7c 3 10 0
× (−1)4+ 3
9
c 2 + c 3 − 1 2 2 0
3 2
0 1
9 10
− 10
2 − 14 0
10 3 14
c 1 + 1 c
2
3 (2)
1
5 1 4 − 1 2 2
3
0 6
2 1 1
2 1
c 4 − c 2 3 2 1
2
5
4 0
1 4 0
− 1 2 2
2 3 0
0 6 2
2 1 4 0
r 4 − r 2 3 1
2 − 1 2 2
2 3 0
1 4 0 r 4 − r 1 3 1
0 − 1
2 2 =0
2 3 0
0 0
(3) − ab bd bf ac − cd cf ae de − ef − b c e
= adf b − c e
b c − e