第四章扭转1详解

dx dx
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三）静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
T
A dA
G
d
dx
A
2dA
令 Ip A 2dA
T
GI p
d
dx
d
dx
扭矩大小可利用截面法来确定。
Me
1
Me
A Me
A
1 1
T
1 1
T
1
B
x
T Me
Me
B
二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图
1、扭转杆件的内力（截面法）
m
m
取左段为研究对象：
m 0, T m 0 m x
Tx
T m
取右段为研究对象：
m
x
m x
0,
mT 0
T
T m
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法则判断。
Mz 0
x d y d zd x d x d zd y
得
y
切应力互等定理
'
在相互垂直的两个面上，切
dy
z
a
b
O '
dx
d c
x
应力总是成对出现，并且大小相 等，方向同时指向或同时背离两 个面的交线。
'
a
d
单元体在其两对互相垂 直的平面上只有切应力而
无正应力的状态称为纯剪
切应力状态。
b '
c
§4-4 圆轴扭转时横截面上的应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力 一）、几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律
1、实验：
观察变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力
(壁厚
t
1 10
r0
, r0：为平均半径）
1、实验：
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
结论：
横截面上 0, 0
0 0
t
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
阻抗力偶
Me
主动力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力
偶作用面垂直于杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
阻抗力偶
Me
主动力偶
mA
me
主要发生扭转变形的杆——轴。
§4-2 自由扭转杆件的内力计算 一、外力偶矩计算
A
1B
2C
3
D
M2
1
T1
x
T1 M 2 4.78kN m
A
1
M2
A
M3 B
2
T2
2
x
T3 M 4 6.37kN m
T2 M 2 M 3 9.56kN m
3
T3
3
M4 x
D
扭矩图
M2
M3
M1
M4
A
B
C
D
T1 4.78kN m T2 9.56kN m T3 6.37kN m
右图
设：轴的转速 n 转／分 (r／min) ，其中某一轮传输的功率为： N 千瓦( KW ）
实际作用于该轮的外力偶矩 m ，则
N dW d(m) m d m m n
dt dt
dt
30
m 30 N 103 9549 N (N m)
n
n
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T 表示。
右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为 负值。
+
T
-
3、内力图（扭矩图）表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
扭矩图作法：同轴力图：
例 1 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功 率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1） 0 0
（2） 0 0
因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
剪应变的变化规律：
D’
取楔形体 O1O2ABCD 为
研究对象
tg DD' Rd
dx dx
微段扭转
变形 d
tg dd d
T GI p
代入物理关系式
扭转变形计算式
G
d
dx
得：
T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
二、圆轴中τmax的确定
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
解： 一、计算作用在各轮上的外力偶矩
M2
M3
M1
M4
A
B
C
D
M1
(9.55 103
500)N 300
m
15.9kN
m
M2
M3
(9.55 103
150)N 100
m
4.78kN m
M4
(9.55 103
200)N m 300
6.37kN m
二、分别计算各段的扭矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
D
且方向垂直于其半径方向。
3、切应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得
wk.baidu.com r0 即
l
T——
T
2r02t
r0
l
剪切虎克定律 在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
p, G
G E
2(1 )
2、切应力互等定理
单元体—— 从受扭的薄壁圆筒表面处截取一微小的正六面体
Me
Me
dy
y d xd z
'
Fy 0 自动满足
z
a
b
O '
dx
d c
dydz
Fx 0 存在'
6.37
4.78
T 图(kN·m)
9.56
Tmax = 9.56 kN·m 在BC段内
例2 试分析图示轴的扭矩 （m－轴单位长度内的扭力偶矩）
1、求约束反力
M A ml
2、截面法求扭矩
T M A mx
T m(l x)
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
§4-3 关于切应力的若干重要性质
第四章 扭 转
§4-1 扭转概念和工程实例 §4-2 自由扭转杆件的内力计算 §4-3 关于切应力的若干重要性质 §4-4 圆轴扭转时横截面上的应力 §4-5 扭转变形 扭转强度和刚度计算 §4-6 圆轴扭转破坏分析 §4-7 矩形截面杆的自由扭转
§4-1 扭转概念和工程实例
一、扭转的工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。