第八章(3) 离散系统状态方程的求解

An×n , Bn× p , Cq×n , Dq× p是系数矩阵
状态方程的求解方法
{
时域法 变换法
一,状态方程的时域解
求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法. 求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法. 8.4例8.4-1 某离散系统的状态方程为
1 x1(k + 1) 2 x (k + 1) = 1 2 4 0 x (k) 1 1 + 0 f (k) 1 x2 (k) 4
其全解 x(k) = xx (k) + x f (k)
(3)求系统的输出
y(k) = Cx(k) + Df (k) = C(k)x(0) + C(k 1)B* f (k) + Df (k)
代入, 将 (k)代入,得零输入响应
1 k 1k ( 2) 1 0 ( 2) yx (k) = C(k)x(0) = = 1 , k ≥ 0 1 1 1 ( )k + ( 1)k ( )k 4 4 2
x1(0) 1 x (0) = 2 2
f (k) = ε (k)
求系统的状态和输出. 求系统的状态和输出.
解 (1)求状态转移矩阵
1 2 0 A= 由给定方程可知, 由给定方程可知,系统矩阵 1 1 4 4 其特征多项式 1 0 λ 2 1 1 det[λI A] = det = (λ )(λ ) 1 1 2 4 λ 4 4
1 x1(k + 1) 2 0 x1(k) 1 x (k + 1) = 1 1 x (k) + 0 f (k) 2 2 4 4 y1(k) 1 0 x1(k) 0 y (k) = 1 x (k) + 0 f (k) 2 1 2
其初始状态和输入分别为
离散系统的转移矩阵的性质如下
(1)(0) = I
(2)(k k0 ) = (k k1 )(k1 k0 )
(3) 1(k k0 ) = (k0 k)
设 k0 = 0,则得
x(k) = Ak x(0) + ∑ Ak1i Bf (i)
i =0
k1
= (k)x(0) + ∑(k 1 i)Bf (i )
在用状态分析系统时, 在用状态分析系统时,求状态转移矩阵(k) 是关键步骤. 是关键步骤. 例 8.4-1 已知矩阵 求其矩阵函数A 求其矩阵函数 k.
0 1 A= 2 1
矩阵A的特征方程为 解 矩阵 的特征方程为
λ 1 = λ2 λ 2 = 0 q( λ ) = det( λI A) = det 2 1 λ 方程有两个相异的特征根
f (k) → f (k)ε (k)
系统的输出
y(k) = C(k)x(0) + C(k 1)B* f (k) + Df (k)
定义一个p 定义一个p×p的对角矩阵 δ (k);即
0 0 δ (k) 0 δ (k) 0 δ (k) = 0 δ (k) 0
显然有 δ (k) f (k) = f (k)
复习
1,连续系统状态方程的时域解 , 2,连续系统状态方程的变换域解 ,
§8.4
离散系统状态方程的解
离散系统状态方程的一般形式为
x(k + 1) = Ax(k) + Bf (k) y(k) = Cx(k) + Df (k)
式中 x(k) = [ x1(k) x2 (k) xn (k)]T 是状态矢量 f (k) = [ f1(k) f2 (k) f p (k)]T 是输入矢量 y(k) = [ y1(k) y2 (k) yq (k)]T 是输出矢量
方法. 另外一种求 Ak 方法. 状态转移矩阵
(k) = A = α0 I +α1 A
k
可得
k α0 +α1λ1 = λ1
α0 +α1λ2 = λ2
1 1 代入上式, 将 λ1 = , λ2 = 代入上式,得 2 4 1 1k 1 1k α0 + α1 = ( ) α0 + α1 = ( ) 4 4 2 2 1k 1k α0 = ( ) + 2( ) 由上式可解得 2 4 1k 1k α1 = 4( ) 4( ) 2 4
用递推法一般难以得到闭合形式的解. 用递推法一般难以得到闭合形式的解.
x(k) = Akk0 x(k0 ) + Akk0 1Bf (k0 ) + Akk0 2Bf (k0 + 1) ++ Bf (k 1)
x(k) = Akk0 x(k0 ) + ∑Ak1i Bf (i)
i =k0
k1
如果 k0 = 0, 则 x(k) = Ak x(0) + ∑Ak1i Bf (i )
λ1 = 2
λ2 = 1
矩阵函数A 矩阵函数 k可表示成
Ak = β 0 I + β1 A
( 1) k = β 0 + β1 ( 1)
k
2 = β 0 + β1 21
解得
1 k k β 0 = [2 + 2( 1) ] 3 1 k β1 = [2 ( 1)k ] 3
将以上系数值β 将以上系数值 0,β1代入得
其特征根为
1 λ1 = 2
1 λ2 = 4
用成分矩阵法求 Ak 状态转移矩阵
(k) = A = λ E1 + λ E2
k k 1 k 2
0 1 1 0 4 1 0 1 1 0 4 = 1 1 1 0 2 4 1 0 1 1 0 2 1 1 2 0 1 0 0 A λ1I 4 4 E2 = = = 1 1 1 1 λ2 λ1 4 2 1k 0 ( 2) 1 k 1 0 1 k 0 0 = k (k) = A = ( ) 1 k + ( 4) 1 1 1 k 1 k 2 1 0 ( ) ( ) ( ) 4 4 2 1 2 可求得成分矩阵 1 A λ2 I 4 E1 = = λ1 λ2
于是又可写为
y(k) = C(k)x(0) + C(k 1)B* f (k) + Dδ (k)* f (k)
= C(k) x(0) + [C(k 1)B + Dδ (k)]* f (k)
= C(k) x(0) + h(k) * f (k)
式中
h(k) = C(k 1)B + Dδ (k)
它是一个q 矩阵,可称为单位序列响应矩阵. 它是一个q×p矩阵,可称为单位序列响应矩阵. 是零输入响应. 上式第一项 C(k)x(0) 是零输入响应. 是零状态响应. 上式第二项 h(k) * f (k) 是零状态响应.
i =0
k 1
上式第一项为零输入解,第二项为零状态解. 上式第一项为零输入解,第二项为零状态解. 称为状态转移矩阵 状态转移矩阵, 表示, 矩阵 Akk 称为状态转移矩阵,用(k k0 ) 表示,即
0
(k k0 ) = A
当 k0 = 0 时,有
kk0
, k ≥ k0
(k) = Ak , k ≥ 0
Ak = β 0 I + β1 A 2k + 2( 1) k = 3 1 0 0 2k ( 1) k + 3 1 2k ( 1)k 0 2 1 1
2k + 2( 1) k 1 = 3 k 2 2 + 2( 1) k
[
]
k k 2 2 + ( 1)
8.4例8.4-2 如离散系统的动态方程为
i =0
k1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
x(k) = (k)x(0) + ∑(k 1 i )Bf (i)
i =0
k 1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
这里, 由于 K0 = 0 这里,
(k) →(k)ε (k)
Baidu Nhomakorabea
(k 1) →(k 1)ε (k 1)
取该式的z变换, 取该式的z变换,有
zX(z) zx(0) = AX(z) + BF(z) Y(z) = CX(z) + DF(z)
∴[zI A]X(z) = zx(0) + BF(z)
1 上式等号两端前乘以 (zI A) ,得
X(z) = [zI A] zx(0) +[zI A] BF(z)
Z[ x(k)] = [Z[ x1(k)] Z[ x2 (k)] Z[ xn (k)]]T
Xi (z) = Z[ xi (k)]
把它简记为
X(z) = Z[ x(k)]
同样地,输入输出矢量的z 同样地,输入输出矢量的z变换简记为
F(z) = Z[ f (k)]
Y (z) = Z[ y(k)]
x(k + 1) = Ax(k) + Bf (k) y(k) = Cx(k) + Df (k)
零状态解
x f (k) = (k 1)B* f (k)
1 k1 ( ) 0 1 2 x f (k) = *ε (k) 1 1 1 ( )k1 ( )k1 ( )k1 0 4 4 2
1 k 1 k1 2 2( ) ( ) 2 2 = , k ≥ 0 *ε (k) = 2 1k 4 1k 1 k1 1 k1 2( ) + ( ) ( ) ( ) 2 3 4 3 4 2
将它们代入, 将它们代入,得状态转移矩阵
1 1 k 1 0 1 k 1 k 2 1 k k (k) = A = ( ) + 2( ) + 4( 2) 4( 4) 1 4 0 1 2 4 1k 0 ( 2) = 1k 1k 1 k ( ) ( ) ( ) 4 4 2 0 1 4
其全响应
y(k) = yx (k) + y f (k)
零状态响应也可通过单位响应矩阵求得(D=0). 零状态响应也可通过单位响应矩阵求得(D=0).
1 K1 ( ) 0 1 1 0 2 h(k) = C(k 1)B + Dδ (k) = 1 1 K1 1 K1 0 1 1 ( )K1 ( ) ( ) 4 4 2 1 k1 ( 2) = , k ≥ 0 1 ( )k1 4
于是系统的零状态响应
1k 1 k1 2 2( 2) ( 2) y f (k) = h(k)* f (k) = *ε (k) = , k≥0 4 4 1 k 1 k1 ( ) ( ) 4 3 3 4
二,状态方程的变换解
的分量的z 设状态矢量 x(k) 的分量的z变换为 则状态矢量 x(k) 的z变换为
零状态响应(考虑到D=0) 零状态响应(考虑到D=0) D=0
1k 2 2( ) 1 0 2 y f (k) = C(k 1)B* f (k) = 2 1 k 4 1 k 1 1 2( ) + ( ) 2 3 4 3
1 k 2 2( 2) y f (k) = k≥0 4 4 1 ( )k 3 3 4
设初始状态和输入为
x1(0) 0 x (0) = 0 2
1 k = 0 f (k) = δ (k) = 0 k ≠ 0
求方程解. 求方程解.
和初始状态逐次代入状态方程: 解 将输入 f (k)和初始状态逐次代入状态方程:
1 x1(1) 2 k=0, 令k=0,得 x (1) = 1 2 4 1 k=1, 令k=1,得 x1(2) = 2 x (2) 1 2 4 1 k=2, 令k=2,得 x1(3) = 2 x (3) 1 2 4 0 0 1 1 + [1] = 1 0 0 0 4 1 0 1 1 2 + [0] = 1 1 0 0 4 4 1 1 0 1 2 + [0] = 4 3 1 1 0 4 4 16
(2)求状态方程的解
x(k) = (k)x(0) + (k 1)B* f (k)
将有关矩阵代入上式, 将有关矩阵代入上式,得零输入解
1k ( 2) xx (k) = (k)x(0) = 1 k 1k ( ) ( ) 4 2 0 1 1 k 2 ( ) 4
1 k ( 2) = , k ≥ 0 1 1 ( )k + ( )k 4 2
零输入解的象函数 零状态解的象函数
1
1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
于是, 于是,得状态转移矩阵 (k) = Ak = Z1{[zI A]1 z} 为了方便, 为了方便,定义