11空间任意力系

由C点：
Y 0,T1'sin15 Qsin45 0,
T1 546(kN)
由B点：
X 0, T2cos cos45T3cos cos450
Y 0, T1sin 60T2cos cos45T3cos cos450
Z 0, N2 T1cos60T2sin T3sin 0
( M xi )2 ( M yi )2 ( M zi )2
0
平衡方程是
Mxi 0,
M yi 0,
M zi 0
§6-4 空间任意力系向一点的简化•主矢和主矩 1.空间任意力系向一点的简化
与平面任意力系向一点的简化相同，空间任意力 系向一点的简化的理论根据也是力线平移定理。
Fx Fx1 Fx2 Fxn
n
Fxi
i1
Fy Fy1 Fy2 Fyn
n
Fyi
i1
n
Fz Fz1 Fz2 Fzn Fzi
i 1

合力矢FR的大小和方向余弦为
大小
FR Fx2 Fy2 Fz2 ( Fxi )2 ( Fyi )2 ( Fzi )2
1. 空间任意力系的简化结果分析
(1) FR 0, MO 0
力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心 的主矩MO 。此时主矢与简化中心O的位置无关。
(2) FR 0, MO 0
力系可合成为一个合力，合力的作用线过简化中心O，大小 和方向与主矢相同。
(3) FR 0, MO 0
利用这个关系来计算力对点的矩和力对轴的矩往往 较为方便。
§6-3 空间力偶系的合成与平衡
1. 力偶矩用矢量表示，力偶矩矢
由于空间力偶的作用面的方位不同，因此除力偶的大小、 转向外，还必须确定力偶的作用面的方位，所以空间力偶矩必 须用矢量表示。因力偶是由一对大小相等，方向相反作用线平 行的力组成，故力偶矩可以用力偶中的两个力对点之矩的矢量 和来表示。
由 Z 0, NB P 80N
mDD' 0,

TB

cos60

AC

P

1 2

CE

0
又 AC ctg60 cos60 CE
TB
cos60
AC

P

1 2

AC
ctg60 cos60
TB

P 2
ctg60

P 2

3 3
3 80 23.1(N) 6
力螺旋不能进一步的合成为一个力或力偶。
(c) FRMO
这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在 一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋。
(4) FR 0, MO 0
这就是下节要讨论的空间任意力系的平衡
§6–5 空间任意力系的平衡方程
1 . 空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢 和对任意点的主矩都为零。即

b(
m2 a
)

c(
m3 a
)

b a
m2

c a
m3
例:已知：AB杆, AD,CB为绳索, A、C 在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑 接触，∠ABC=∠BCE=600, 且AD水平， AC 铅直。求平衡时，TA，TB及支座A、 B的反力。
解：思路：要合理选取投影轴和矩 轴，使一个方程解出一个未知量。
6m
ZB
P
YB
直力
y
P=1000N，
与作用在 曲杆上的 450
B XB
水平力T T 相平衡， 求轴承A、
E ZA D 3m
O
B两处的
8m
8m C
反力。
x
A 解：机构受力如图：
XA
X A 1.5P,
Z
A

7 8
P,
XB

0.5P,
YB

2 P,
ZB

1 8
P,
T 2
2P
例: 已知： AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求TBE=？, TBF=？NAB =？ 解：分别研究C点和B点作受力图
i 1
因而空间平行力系的平衡方程只有下面的3个
Fzi 0,
M x (Fi ) 0,
M y (Fi ) 0
空间平行力系
z
X 0 0=0
Y 0
0=0
o
y
Z 0 Σz=0
mx 0
m
y

0
Σmx=0 Σmy=0
x
mz 0 0=0
可得
MO (F )x M x (F ) MO (F )y M y (F ) MO (F )z M z (F )
即力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这 力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩 的关系。
MO (F )x M x (F ) MO (F )y M y (F ) MO (F )z M z (F )
方向余弦
cos(FR ,i)
Fx FR

Fxi FR

cos(FR ,
j)
Fy FR

Fyi FR


cos(FR , k)
Fz FR


Fzi

FR
3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程
由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力，
因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力 等于零，即
例:曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?
⑴ 力偶不出现在投影式中； ⑵ 力偶在力矩方程中出现，是把力偶
当成矢量后，再在坐标轴上投影； ⑶ 力争一个方程求解一个未知量；
⑷ 了解空间支座反力画法。
解：
X 0, X D 0
由空间任意力系的平衡方程还 可导出其它特殊类型的力系的 平衡方程。
z F1
Fn
例如对空间平行力系，不
失一般性，假定取z 轴与各力平
行，如右图所示，则空间任意
力系的6个平衡方程中有3个衡
x
为零，即
O y
F3 F2
n
Fxi 0,
i 1
n
Fyi 0,
i 1
n
M z (Fi ) 0
上式在x、y、z轴
上的投影分别为
MO(F)x yFz zFy MO(F)y zFx xFz MO(F)z xFy yFx
2. 力对轴的矩
M x (F ) yFz zFy M y (F ) zFx xFz M z (F ) xFy yFx
以上即是计算力对轴之 矩的解析表达式。
FR 0, MO 0
平衡方程是
n
Fxi 0,
i 1
n
Fyi 0,
i 1
n
Fzi 0
i 1
Mx (Fi ) 0,
M y (Fi ) 0,
M z (Fi ) 0
与平面任意力系类似，空间任意力系的平衡方程除了上 面的一般形式外，还有四矩式，五矩式和六矩式。
MO (F, F) MO (F ) MO (F) rA F rB F
Bd F F ' rBA A
由于 F F, 因而
rB
rA
MO (F, F) (rA rB ) F
rAB F
O
2. 空间力偶的等效定理 作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两
Σz=0
空间平行力系的平衡方程为:
Σmx=0 Σmy=0
例：水平均质正方形板重P，用六根 直杆支撑如图，求各杆内力。
B 解：研究板，作受力图
Σms1=0 Σms3=0 Σms5=0
S6=0 S4=0 S2=0
ΣmAB=0
S5= -P/2
ΣZ=0
A4 1
ΣmAC=0 S3=0
S5= S1= -P/2
C
D6 5 P3 2
例：水平轴AB上分
别固结半径为100cm
Q
和10cm的两圆轮，并 z
在切线方向受力P和Q，
已知P=10kN，求平
ZA
衡时Q=？；A、B两
轴处的反力分别为多 少？
A
XA
x
P ZB
y
BXB
解：受力如图：
Q 100kN, X A 1kN, X B 9kN, Z A 90kN, ZB 10kN
n
FR F1 F2 Fn Fi 0 i 1
由FR的大小 FR Fx2 Fy2 Fz2
可得平衡方程
( Fxi )2 ( Fyi )2 ( Fzi )2
n
Fxi 0,
i 1
n
Fyi 0,
i 1
n
Fzi 0
i 1
§6-2 力对点的矩与力对轴的矩

M
2 z
( M xi )2 ( M yi )2 ( M zi )2
方向余弦为
cos(M, i) M x , cos(M, j) M y , cos(M, k) M z
M
M
M
显然空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢 为零，即
M
M
2 x

M
2 y

M
2 z
mDy

0,

m2

ZA

a

0, Z A

m2 a
mDz

0,
m3
YA

a

0, YA

m3 a
Y

0, YA
YD

0, YD

YA


m3 a

Z

0,
ZA

ZD

0,
ZD

ZA


m2 a
mx1 0, m1 bZD c YD 0
m1

bZD

cYD
内容回顾
§6-1 空间汇交力系的合成与平衡
1.力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
间接投影法
2. 空间汇交力系的合力
n
FR F1 F2 Fn Fi i 1
n
n
FR Fi (Fxii Fyi j Fzik)
i 1
i 1
合力在x、y、z轴的投影为
此时分三种情况讨论。
(a) FR MO
可进一步简化成一合力
合力的大小和方向与主矢相等，
FR FR
作用线距简化中心O的距离
d MO FR
MO
O
FR'
（a)
O
FR d FR O' FR
(b)
O d
O' FR
(c)
(b) FR // MO
原力系简化成力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如
刚体上作用空间任意力系F1，F2，…，Fn.。用力线平移定 理，将所有力向任意选定的简化中心O平移，同时附加一 个力偶 。这样，原空间任意力系就被空间汇交力系和空间
力偶系等效代替。
n
FR Fi Fi , i 1
n
n
MO Mi MO (Fi )
i 1
i 1
从上可得主矢与简化中心O的选择无关，主矩与简化中 心O的选择有关。关于主矢与主矩的大小和方向的计算 同前的空间汇交力系和力偶系。
个力偶等效。
3. 空间力偶系的合成与平衡条件
任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力 偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。
nபைடு நூலகம்
即
M M1 M2 Mn Mi
i 1
其合力偶矢的大小和方向的计算与空间汇交力系的
合力的大小和方向的计算完全相同。
合力偶矢的大小
M
M
2 x

M
2 y
X 0, TA TB cos60 0
TA TB cos60
3 80 1 11.5 (N)
6
2
Y 0, N A TB sin60 0
NA
3 80 6
3 20 (N) 2
例：图示
z
机构，在 踏板C上 作用一铅
4m
3. 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系 比较力对点的矩的解析表达式和力对通过该点的轴的矩
的解析表达式
MO (F ) ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
M x (F ) yFz zFy M y (F ) zFx xFz M z (F ) xFy yFx
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
z
r xi yj zk
M O(F)
F Fxi Fy j Fzk
可得力矩矢的解析形式
i jk
k
O
ih
MO(F) r F x y z
x
Fx Fy Fz
B F
A(x,y,z) r
j
y
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
cos 4 4, sin 3
32 42 5
5
T2 T3 419 (kN) , N2 230 (kN)